2013上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷(精校).doc

2013上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．若在区间上，函数与在同一点取相同的最小值，则函数在上的最大值是 ． 2．若为整数，且，则有序数组 ． 3．已知函数，则该函数的最小值是 ． 4．已知线段（）分别与轴，指数函数的图像，对数函数的图像，轴交于点，其中，若中间两点恰好三等分线段，则的值是 ． 5．如图，已知椭圆：和⊙：，在椭圆内，且在⊙外的区域内（包括边界）所含圆的最大半径是 ． 6．关于的方程的整数解 ． 7．袋中有6 只红球与8 只白球, 任意抓5 只球放入一个A 盒中，其余9 只球放入一个B 盒中，则A 盒中白球个数加B 盒中红球个数之和不是质数的概率是 用数字作答 ． 8．若在集合中删去一个元素后，余下元素的乘积恰好是一个完全平方数，则删去的这个元素是 ． 二、解答题 9．（本题满分12分）正数数列的前项和为，数列的前项积为，且（），求数列中最接近2013 的数． 10．（本题满分12分）已知正数及抛物线：（），为抛物线对称轴上一点，为抛物线的顶点，为抛物线上任意一点，求的最大值． 11．（本题满分18分）已知不等式 （1）若存在正数，使不等式成立，求证：； （2）求所有满足下列条件的整数：存在正数使不等式成立，且凡使不等式成立的任意一组正数都是某个三角形的三边长． 12．（本题满分18分）已知棱长为1 的正方体（如图），为它的8 个顶点构成的集合，对规定个有序顶点组满足，且对每个，与是中的相邻顶点． （1）求顶点所有可能的位置； （2）设表示的所有个有序顶点组的个数, 求． 1