GM(1_1)模型.docVIP

GM（1,1）模型（grey model一阶一个变量的灰微分方程模型） 灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。 GM（1,1）的具体模型计算式 设非负原始序列 对作一次累加 ; k=1,2,…,n 得到生成数列为 于是的GM（1,1）白化微分方程为 (1—1) 其中a,u为待定参数，将上式离散化，即得 （1—2） 其中为在（k+1）时刻的累减生成序列， （1—3） 为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x的取值） （1—4） 将（1—3）和（1—4）带入（1—2）得 （1—5） 将（1—5）式展开得 （1—6） 令，， 为待辨识参数向量，则（1—6）可以写成 （1—7） 参数向量可用最小二乘法求取，即 （1—8） 把求取的参数带入（2—16）式，并求出其离散解为 （1—9） 还原到原始数据得 （1—10） （1—9）、（1—10）式称为GM（1,1）模型的时间相应函数模型，它是GM（1,1）模型灰色预测的具体计算公式。 灰建模事例 北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据 序号 年份 Leq 1 1986 71.1 2 1987 72.4 3 1988 72.4 4 1989 72.1 5 1990 71.4 6 1991 72.0 7 1992 71.6 表：某城市近年来交通噪声数据[dB(A)] 第一步：级比检验，建模可行性分析。 1、建立交通噪声平均声级数据时间序列： 2、求级比： 3、级比判断： 由于所有的，（k=2,3,…7），故可以用作满意的GM（1,1）建模。 （注：由此处可见，当样本数量增加时，GM模型能够接受的相邻两个样本的变化范围变小，正常情况上公司每天的上班人数基本恒定，因此可以在样本数量的选择和可能的变换范围之间作一个平衡：n取20时，允许的变化范围大致为（0.91 , 1.1）；n取40时，允许的变化范围大致是（0.95 ，1.05）…在进行预测时，只要使用必威体育精装版的n组数据即可 ） 第二步：用GM（1,1）建模 对原始数据作一次累加： （k=1,2,…,7） 得： =（71.1，143.5，215.9, 288, 359.4, 431.4, 503） 构造数据矩阵B以及数据向量Y： 于是可以得 ， 用最小二乘法估计求参数列 于是可以得到， 建立模型 解得时间响应序列为 = 求生成数列值及模型还原值； 令k=1,2,…,6带入时间响应函数即可得到 其中取 由，得到还原值 =（71.1, 72.4, 72.2, 72.1, 71.9, 71.7, 71.6） 第三步：模型的误差分析 序号 年份 Leq原始值 Leq模型值 残差 相对误差 1 1986 71.1 71.1 0 0 2 1987 72.4 72.4 0 0 3 1988 72.4 72.2 0.2 0.28% 4 1989 72.1 72.1 0 0 5 1990 71.4 71.9 -0.5 0.70% 6 1991 72.0 71.7 0.3 0.42% 7 1992 71.6 71.6 0 0 由此可见，该模型精确度较高，可以进行预报及预测。