N平方加1型的素数是无穷多的.docVIP

关于形如N2+1的素数问题 摘要：本文建立了一种筛法,用这种筛法证明了形如的素数是无穷多的. 关键词：素数 剩余类 筛法 予备知识 要讨论形如的素数问题,除1以外,只须对是偶数的情况加以研究. 引理一:形如的素数可以表为一偶一奇两数的平方和, 并且表法是唯一的. 1 其中s表示偶数,t表示奇数,[1] 引理二:若为合数,则它能表为一偶一奇两数的平方和. 2 其中u表示偶数,v表示奇数,并且v1. 因为这里只讨论是偶数的情况,由引理一极易推得. 引理三:若2成立,则(没有的素因子)由纯的素因子组成.[2] 引理四:若2成立,则,即 3 证明:见[3]. 引理五:若含有素因子,则除以所得的商也能表为一偶一奇两数的平方和.即 4 其中x表示偶数,y表示奇数. 证明:见[1],[4]. 一个基本定理 由 4 将上面等式的第三部分展开得: 5 比较4,5得: 6 即满足6的的的数必含素因子P.为了确定,我们将6化简, 继续比较4,5得到以下四个一次方程组,并加以讨论. 从这个方程组解得: , 此与s,x为偶数相矛盾, 即这种情况是不存在的. 从这个方程组解得: . 从这个方程组解得: ,. 从这个方程组解得: , 此与s,x为偶数相矛盾, 即这种情况也是不存在的.所以得到: 即 7 将7代入6得: 8 8式说明:对于任意给定的形如的素数,总有满足8 的两类,这样的使为含有素因子的合数. 于是我们得到基本定理. 定理一:对于任意给定的形如的素数P,总存在这样的,即以为模的两个剩余类的,对于如此的,它的平方加1为含有素因子的合数. 即 . 有下式成立 . 9 计算方法 以下我们给出满足9的两类的计算方法. 8 取以为模, 由于h的任意性, 不妨设4h含有因子s, 则8变为: 10 由于λ的任意性, t可以整除λp,但是 ,除t=1以外, t不能整除s.所以,除t=1以外,不能用10求出满足9的两类. 为此需要加以变换. 由于λ的任意性,不妨设,并且设 一并代入10得 11 由μ任意性,取适当的μ使 . 则 11. 这样以来.公式11就给出了求满足9的两类的具体计算方法. 我们还可以给出求满足9的另外一种具体计算方法. 将8加以变形 12 取以p为模,由于h任意性,不妨设含有因子t,则12变为 13 由λ＇的任意性,不妨设＇设 ,将这两个式子同时代入13得: 14 由于μ＇的任意性,取适当的μ＇使 得 14 公式14就又给出了满足9的两类的又一种方法. 例1:对=5.求出两类,使含有因子5. 解: ∵.可以用公式10直接计算. . 因为为素数, 它也是的素数,所以对于形如的素数.求出两类, 使含有素因子,可利用公式10 直接计算. 例2:对 =193.求出两类,使含有因子193. 解: 方法一:利用公式11将代入11得: 方法二:利用公式14,将 代入14得 由公式11和公式14求出的两类N表面上是不一致的,实际上是一致的. 为了形式的一致,我们对用方法一求出两类稍加变形得: 一般说来,对于以为模的两个剩余类pm±R.如果约定 ，不管用公式11,还是用公式14求出的两类是唯一确定的.至于具体计算时究竟用那个公式, 要看用那个公式使计算简单一点而定. H筛法 由基本定理及求满足9的两类的具体计算方法加以深究. 实际上是创立了一种特殊的新的筛法,这里我们记为H筛法.即用这种筛法,用形如的素数去筛N,筛出的使都是合数,而留下的都是的素数. H筛法是用下述办法进行的: 是所有偶数. 首先用5去筛,筛出两类,这两类,使都是含有因子5的合数. 然后用13去筛,筛出两类,这两类,使都是含有因子13的合数. 其次用17去筛,筛出两类,这两类,使都是含有因子17的合数. .................. 依次用素数去筛,筛出两类,这两类,使都是含有因子的合数. 形如N2+1的素数是无限多的 我们注意到:用5去筛,有的N,使为合数.用13去筛 , 有的N,使是合数.用17去筛,有的N,使是合数，……,用素数去筛,有的N,使是合数. 我们又注意到:在的数中,含因子5的占,含因子13的占,.....,含因子pJ的占J.既含因子5,又含因子13的 ,......,既含因子5,又含因子13,...,又含因子pJ的占