一个三角形定理的深入推广.docVIP

一个三角形定理的深入推广 赵尚桂 04数本 0座机电话号码5 摘要 本文通过一个三角形定理（即设三条边的中点分别为，则的外心是的垂心）。因为这个三角形定理涉及到外接圆，所以从此定理出发进行推广到新生折线内。并且这个闭折线上的每个顶点都在同一圆上，即圆内接闭折线. 主要从三角形外心、重心、垂心的定义推广出圆内接闭折线上各心的定义，进而是到想到推广的新定理。 关键词 圆内接闭折线 号心 引 言 关于三角形有如下命题： 定理1：设三条边的中点分别为,则的外心是的垂心 证明：依据题意，过点作的垂线点作的垂线（如图1） 即两垂线的交点为 那么我们知道各边垂直平分线的交点即为的外接圆圆心. 且都为的中位线 可得： 那么在中就是的垂心 命题得证. 将这个定理推广到一般圆内接闭折线中，为了叙述方便起见，本文约定：符号表示任意一条平面闭折线；在的个顶点中，任意除去一个顶点，其余个顶点组成的集合，称为的一级顶点子集，记作 定义 设闭折线内接于，若点满足 则点称为闭折线的垂心。 若点满足 则点称为的一级顶点子集的重心 若点满足 则点称为的号心 本文所要推广的结论为： 定理2：设内接于，其一级顶点子集的重心为，则是圆内接闭折线，且的外心是的垂心. 证明： 如图2根据上述定义，并且由向量的运算性质可得 两边求模可得：（其中为的半径） 于是可得闭折线内接于，且半径为。 所以有垂心，并假设为，那么根据内接圆后垂心的定义可得： 即可得垂心的与的外心点重合。命题得证。 特别地，在定理2中令，可得： 推论：设四边形内接于圆，其四个一级点子集的重心依次为，则四边形的外心是四边形的垂心。 参考文献 [1]：熊曾润 圆内接闭折线的一个美妙性质 数学教学 2006.4 [2]：熊曾润 平面闭折线趣探 2002