一个数论问题证明.docVIP

关于一个数论问题的证明（2011.10.18） 这个问题可能对大家的数论知识有所帮助，我感觉我的方法比较通俗易懂，但它涉及了多项式思想和组合数有关公式，这里关键是解决思路，这时学习数学的根本。祝学习轻松愉快！如果你们有更好的解法，请分享。 命题：若有奇素因子，则必有异于的奇素因子 证明：因为奇素因子，所以为奇数，且 所以 当为偶数时， 为奇数； 当为奇数时，由于为奇数，且 所以为奇数个奇数的和，故和为奇数。 所以为的奇数因子。 因此只能有奇因子。 下面证明这个结论 设，则 此多项式按展开后，得一个关于的次多项式， 因为为大于等于3的素数，所以为偶数，故为正整数 所以为正整数 由只能有奇因子可知，只有奇数因子 所以必为奇数， 又因为奇数且不能被整除， 所以的因子都不等于 又因为的因子皆为奇数，故其必含奇素因子。其奇素因子也不等于。这就证明了本题的结论。 下面证明香港05年奥赛试题 试题：存在无穷多个不含平方因子的正整数，使得 证明：设，因为，则，由结论至必存在异于的奇素因子，设为，即 因为、 为奇素数（正整数即可） 所以由知， 由知 所以，而为奇素数，且故、一定不含完全平方因子， 上述过程可以无限的进行下去，因此存在无穷多个不含平方因子的正整数，使得。 本题可改为 证明存在无穷多个不含平方因子的正整数，使得。