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来稿：2012-10-16； E-mail：wxf95805@163.com 一个重要图形的面积的多种变化 浙江省慈溪市锦纶中学 王晓峰 315301 凡学习过勾股定理的都知道勾股定理也可表述为：分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。如图1，∠ACB＝90o，S1+S2＝S3 变化1：生长成勾股树，如图2，结论类似。 变化2：以直角三角形的三条边为边向外作正三角形，如图3，也有S1+S2＝S3S1+S2＝S3 变化3：在图1上面添加三条线，就得到下面一题。 题1．如图，在△中，∠＝90o，AC＞BC，分别以AB、BC、CA为一边向△外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△、△、△的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是 A．S1＝S＝S3 B．S1＝S2＜S3 C．S1＝S3＜S2 D．S2＝S3＜S1 FA、NB且过点E、D作ET⊥FA、DK⊥NB，垂足为T、K，不难得知△ATE≌△ACB，故TE CB，则S1 S△ACB，同理△ACB≌△DKB，S△ACB S3，易知S△ACB S2，所以S1＝S＝S3 方法二：延长CA至点H，使得AH CA后连结BH，可知 S△BHA S△ACB且△BHA≌△EFA，故S△BHA S1，则S1 S△ACB，同理S3 S△ACB，又S2 S△ACB，所以S1＝S＝S3AF×AE sin∠FAE，S△ACB AC×AB sin∠BAC，而AF AC，AE AB，sin∠FAE sin∠BAC，故S1 S△ACB，同理，S3 S△ACB，又S2 S△ACB，所以S1＝S＝S3 简析与解：根据上题的解答可知三个斜线部分的面积均与△ABC的面积相等，故当△ABC面积取得最大，三个斜线部分面积之和的亦取得最大值。故当∠ABC为直角时所求的面积之和的最大值为：3××2×3 9 。 题3．以 ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图连结EF、GH、IJ、KL。若 ABCD的面积为5，则图中四个三角形的面积和为 。 简析与解：该题的新变化是将△ABC换作 ABCD，解法不变，所求面积之和为 ABCD的面积的2倍，即为10。 推论：若将上图中的平行四边形改为一般的凸四边形，在其形外仍分别作4个正方形，则所得四个三角形的面积和仍为原四边形面积的2倍 。 题4．如图，图（1）供你参考，四边形BDEF是长方形，∠ADE ∠EFC 90 o ，AD 5，BF 7，EF 4，CF 10，图（2）是以三角形a的三边为边长向外作正方形，正方形的面积表示在图中，则三角形a的面积是 。 简析与解：仔细分析数据可以发现74 52+72，116 42+102，370 92+172，至此图（1）与图（2）得关系真相大白，则图（2）中三角形a的面积实为图（1）中三角形AEC的面积。即：×9×17－×5×7－7×4－×4×10 11。 B A C Ⅰ Ⅱ Ⅲ K T 图4 B D C G E F N M A S1 S2 S3 H 图5 B D C G E F N M A S1 S2 S3 B D E F H I G A C J K L C B A S1 S3 S2 图1 C B A 图2 S2 C B A S1 S3 图3 1 D F 5 E B A C 7 10 4 370 74 116 a 2 B O C A B S2 S1 S3