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一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同
第九章 二次型
§9.1 习题
1.证明,一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同.
2.对下列每一矩阵A,分别求一可逆矩阵P,使是对角形式:
i
ii
iii
3.写出二次型的矩阵,并将这个二次型化为一个与它等价的二次型,使后者只含变量的平方项.
4.令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵,即满足条件.
i A必与如下形式的一个矩阵合同:
ii 斜对称矩阵的秩一定是偶数.
iii F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩.
§9.2 复数域和实数域上的二次型
1.设S是复数域上一个n阶对称矩阵.证明,存在复数域上一个矩阵A,使得
.
2.证明,任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一:
3.证明,任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同:
4.证明,一个实二次型可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是:或者q的秩等于1,或者q的秩等于2并且符号差等于0.
5.令
证明A与B在实数域上合同,并且求一可逆实矩阵P,使得.
6.确定实二次型的秩和符号差.
7.确定实二次型的秩和符号差.
8.证明,实二次型的秩和符号差与无关.
§9.3 正定二次型
1.判断下列实二次型是不是正定的:
;
2.取什么值时,实二次型
是正定的.
3.设A是一个实对称矩阵.如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数,使得是正定的.
4.证明,阶实对称矩阵是正定的,必要且只要对于任意,阶子式
5.设是一个阶正定实对称矩阵.证明
当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立.
[提示:对作数学归纳法,利用定理9.3.2的证明及习题4.]
6.设是任意阶实矩阵.证明
阿达马不等式 .
[提示:当时,先证明是正定对称矩阵,再利用习题5.]
§9.4 主轴问题
1.对于下列每一矩阵A,求一个正交矩阵U,使得具有对角形式:
;
;
2.设A是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵S使得
.
3.设A是一个阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得.
[提示: 是正定对称矩阵.于是由习题2存在正定矩阵S,使得 .再看一下U应该怎样取.]
4.设是一组两两可交换的阶实对称矩阵.证明,存在一个阶正交矩阵U,使得都是对角形矩阵.
[提示:对作数学归纳法,并且参考7.6,习题9.]
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