揭秘微积分.ppt

揭秘微积分 刘 巧 华 上海大学数学系 大学里有棵树，叫高数 很多人都挂在上面； 树下有座坟，叫微积分， 很多人被埋在下面； 坟后有一片林，叫麦克劳林； 林里有匹马，叫费马…… 学高数=苦大仇深 为什么要学习极限理论？ 微分学的思想 积分学的思想 报告提纲 微积分的创立 微分学 积分学 微积分与解析几何是17世纪世界数学史上两个最重要的发现。英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。 微积分的创立 牛顿 莱布尼兹 从运动学角度 从几何角度 流量 增量 流数(逆流数) 导数(积分) 记号： 记号： 1669发现(1711年正式出版) 1684年发表(1673年曾访问伦敦) 牛顿和莱布尼茨关于微积分的工作起初并不完善。他们所创微积分的灵魂就是“无穷小量”，但前后说法不一，十分含糊。 当时牛顿对导数的定义为：当x增长为x+o时，增量 该增量与x的增量o的比为 ，然后让增量o消失，则函数增量和自变量的增量的最后比为 。 贝克莱悖论：在论证的前一部分假设o是不为0的，而在论证的后一部分又被取为0。那么o到底是不是0呢？这种微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机，而这次危机的引发与牛顿有直接关系。历史要求给微积分以严格的基础。 达朗贝尔首先在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。 柯西(1821) 极限理论 微分学 积分学 柯西(789―1857）于1821年出版的《分析教程》中，开始有了极限概念的基本明确的叙述，并以极限概念为基础，对“无穷小量”、无穷级数的“和”等概念给出了比较明确的定义。例如，从极限的观点看，“无穷小量”就是极限为零的变量，在变化过程中，它可以是“非零”，但它的变化趋向是“零”，无限地接近于“零”。极限论正是从变化趋向上说明了“无穷小量”与“零”的内在联系，从而澄清了逻辑上的混乱，撕下了早期微积分的神秘面纱。 后来，经过波尔察诺、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托等人的卓越工作，又进一步把极限论建立在严格的实数理论基础上，并且形成了描述极限过程的ε-δ语言。微积分理论基础的严密化，使微积分跃进和扩展为现代数学的重要领域。 微积分的发展历史告诉我们，一门学科不能只停留在感性阶段，如果不上升到理性，不具备坚实的理论基础，不但其应用受到限制，学科本身也难以继续发展。 然而在上一世纪我国的多次运动中，在数学是唯心主义的世袭领地这种错误思想影响下，极限论和ε-δ语言屡遭批判，屡次被撵出课堂。 文革之后，一位教师感慨地说：当我做学生的时候，也曾起劲地参加批判，但毕业以后，做了几年教学工作，我体会到过去批判的东西其实是正确的、有重要意义的。可是当我向学生讲述这些道理的时候，我自己却又成为学生们的批判对象了。 感受极限 n (1+1/n)^n 10 2.593742460100002 100 2.704813829421529 1000 2.716923932235594 10000 2.718145926824926 100000 2.718268237192298 1000000 2.7182804690957532.718281694132082 柯西对极限的描述： n无限增大时，(1+1/n)^n无限接近某个常数e 魏尔斯特拉斯引入ε-N, ε-δ语言 雾里看花：函数值与极限值 其中α是x趋于x0的无穷小。 因此在x0附近，f(x)的曲线与y=cxk的曲线走向基本一致。 微分：化复杂为简单 函数千千万，线性最简单 方程求根问题 例：求方程 x3 + x -3 = 0 的近似根. 解:令f(x)= x3 + x -3 = 0, 则 -1=f(1)0f(2)=7.故在(1,2)必存在根c。 设u=c-1, 则 f(c) = f(1+u) =-1+4u+3u2+u3=0 最接近的线性函数为y=-1+4u, 得u的近似值0.25;c的近似值1.25 f(1.25) = 3(1/4)2+(1/4)3 = 0.2031250. 令 v = c-1.25. 则 f(c) = f(1.25+v) = (1.25+v)3+(1.25+v)-3 = 0.203125+45.6875v +3.75v2+v3=0 0.203125+45.6875v≈0 ? v≈-0.0357 ? c≈1.2143.