第3章_曲线拟合的最小二乘法 计算方法.ppt

计 算 方 法 课 件 §3.1 拟合曲线 通过观察或测量，得到一组离散数据 * 结束 插值：找通过这些点的多项式。但对高次多项式，可能产生较大的误差，如Runge现象，使得高次多项式并不能接近原函数。 拟合：不要求近似函数过所有的数据点,而是要求它反映原函数整体的变化趋势,从而得到比原函数更简单更适用的近似函数,这样的方法称为数据拟合 第3章 曲线拟合的最小二乘法 结束 数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法：设f x 为原函数,? x 为近似函数, xi , f xi i 1,…,n 为数据点,要求选择? x 使 当? x 选择为多项式时,称为多项式拟合. 最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理方法之一.它常用于把实验数据 离散的数据 归纳总结为经验公式 连续的函数 ,以利于进一步的推演分析或应用. * 插值与拟合是构造近似函数的两种不同方法 为最小. §3.2 线性拟合和二次拟合函数 1. 线性拟合 已知数据点为 由求极值的方法得矩阵方程——拟合曲线的法方程组 用直线 作为近似曲线,均方误差为 * * 由此可出求系数 拟合直线为 2. 二次拟合函数 已知数据点为 用二次函数 作为近似拟合曲线,均方误差为 最小。 由求极值的方法得法方程： 由此可出求系数 拟合曲线为 * * 例1 设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。 解 首先作平面散点图如下： x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 * 从图中观察,这5个点大致在一条抛物线的附近,可考虑用二次多项式 进行拟合。 * 用高斯-若当无回代消去法解此方程组,得a0 13.454, a1 -3.657,a2 0.272。 最小二乘拟合多项式为： 3 非线性曲线转化为线性拟合: 例3:已知数据为 x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6 求一个形如 y aebx的经验公式 a,b为常数 . 解:两边取对数得： * * i xi yi Yi xi2 xiYi 0 1 15.3 2.7279 1 2.7279 1 2 20.5 3.0204 4 6.0408 2 3 27.4 3.3105 9 9.9315 3 4 36.6 3.6000 16 14.4000 4 5 49.1 3.8939 25 19.4695 5 6 65.6 4.1836 36 25.1016 6 7 87.8 4.4751 49 31.3257 7 8 117.6 4.7673 64 38.1384 ∑ 36 29.9787 204 147.1354 解该方程组的 A 2.4368,b 0.2912 由A lna,即得a eA 11.436 9 所以,经验公式为：y 11.4369e0.2912x * §3.3 解矛盾方程组 1. 矛盾方程组 已知数据点为 作拟合直线 若直线 通过点 xi,yi ,则 否则 此时统称 为矛盾方程 * 矛盾方程组：（由点和拟合曲线构成的方程组） 其矩阵形式为： * * 为法方程。 * 即法方程。 定理 （1）AX b的法方程 恒有解； （2）x*为Ax b的最小二乘解的充要条件为 ATAx* ATb. 证明 略 * 一般形式为： 矛盾方程组的矩阵形式为： 简化为 结束 其法方程为： * 由此求出拟合多项式的系数。 例：给出一组数据，用最小二乘法求如下形式经验公式 结束 * 解： 解得： 拟合曲线为： 计 算 方 法 课 件