数学第十章定积分应用精讲.ppt

第十章 定积分应用 第二节 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 平面图形的面积 一、直角坐标系情形 二、极坐标系情形 三、小结 思考题 一、直角坐标系情形 三、小结 立体体积 一、旋转体体积 二、已知截面面积的立体体积 三、小结 思考题 一、旋转体的体积 三、小结 平面曲线的弧长 一、平面曲线弧长的概念 二、直角坐标情形 三、参数方程情形 四、极坐标情形 五、小结 一、平面曲线弧长的概念 二、直角坐标情形 三、参数方程情形 四、极坐标情形 第三节 定积分的物理应用 一、变力、变距离作功 二、水压力 三、引力 四、小结 四、小结 因这一薄层水抽出围囹所作的功近似于克服这一薄层重量所作的功，所以功元素为： 解 建立坐标系如图 这一薄层水的重力为 于是在[3,30]上，抽尽水所作的功为： x x dx 27 3 20 0 x x dx 27 3 20 0 O在水面 例4 求椭圆 ，分别绕 X轴、Y轴、直线 y -c 旋转一周所得旋转体的体积。 解 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 二、已知截面面积的立体的体积 x A x dV A x dx x 已知平行截面面积为 A x 的立体 . a V 平行截面面积为已知的立体的体积 b o y R x x y –R R . . . . y tan? ? ? 问题： 还有别的方法吗？ x, y , 截面积 A x . 例5：半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成?角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。 . o y R x –R R 方法2 . 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成?角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。 o y R x –R R 方法2 A B C D ? BC DC . . . . 截面积 S y x, y 2x ytan? . S y . 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成?角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。 h R x o x A x A x V . . . . –R y . 例6：求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。 y 旋转体的体积 平行截面面积为已知的立体的体积 绕 轴旋转一周 绕 轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周 弧长元素 弧长 解 所求弧长为 s l 解 所求弧长为 曲线弧为 弧长 解 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 曲线弧为 弧长 解 分部积分法 解 直角坐标系下 参数方程情形下 极坐标系下 五、求弧长的公式小结： 用元素法 建立坐标轴如上图所示, 提示：根据物理学, 在电量为+q的点电荷所产生的电场中, 距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为： 问题： 物体在变力F x 的作用下，从x轴上a点移动到 b点， 求变力所做的功。 用元素法 1）在[a,b]上考虑小区间[x, x+?x]，在此小区间上 ?W?dW F x dx 2）将dW从a到b求定积分，就得到所求的功 F x F x F 由物理学知道, 一定量的气体在等温条件下, 压强p与体积V的乘积是常数k , 即 解 建立坐标系如图 这一薄层水的重力为 功元素为 kN?m kJ 把这一薄层水抽出水池所作的功等于克服这一薄层重量所作的功 例4 修建一座大桥墩时，先要下围囹，并且抽尽其中的水以便施工，已知围囹的直径为20m，水深27m，围囹高出水面3m,求抽尽水所作的功。 x x dx 27 3 20 0 分析　（如下图）建立坐标系： * 0 x y a y f x b x+dx x 定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积，曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。 第一节 定积分的元素法 一、问题的提出 如何应用定积分解决实际问题_____微元法： 回顾 曲边梯形面积 A 的计算过程： 把区间[a, b]分成n个小区间, 有 总量A 对于[a, b]具有区间可加性, 计算?Ai的近似值 得A的近似值 1 分割. 2 近似. 3 求和. 4 求极限. n个部分量Ai 的和. a b 0 x y y f x 即A可以分割成 把上述步骤略去下标，改写为： 1 分割. 2 近似. 3 求和. 4 求极限. 计算?A的近似值 x x+dx 这种方法通常称为微元法或元素法 面积微元 用?A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积， 取微元 任取一个具有代表性的小区间 [x, x+