数学格林公式曲面积分的条件精讲.ppt

一、区域连通性的分类 二、格林公式 三、简单应用 格林公式的应用 练习2 四、曲线积分与路径无关的定义 证明 (1) (2) 证明 (2) (3) 证明 (3) (4) 证明 (4) (1) 思考与练习 2. 设 3. 设 C 为沿 2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 L 与路径无关 解 因此，积分与路径无关。 则 P，Q 在全平面上有 连续的一阶偏导数，且 全平面是单连通域。 取一简单路径：L1 + L2. 因此，积分与路径无关。 全平面是单连通域。 解 因此，积分与路径无关。 则 P，Q 在全平面上有连续的 一阶偏导数，且 全平面是单连通域。 因此，积分与路径无关。 全平面是单连通域。 取一简单路径：L1 + L2. 解 例7 验证：在 xoy 面内， 是某个函数 u (x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数。 这里 且 在整个 xoy 面内恒成立。 即， 因此，在 xoy 面内， 是某个函数 u (x, y) 的全微分。 解 例9. 计算 其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 它与L 所围 原式 圆周 区域为D , 则 1.连通区域的概念; 2.二重积分与曲线积分的关系 3. 格林公式的应用. ——格林公式; 五、小结 与 路 径 无 关 的 四 个 等 价 命 题 条件 等 价 命 题 若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。 思考题 思考题解答 由两部分组成 外边界： 内边界： 1. 设 且都取正向, 问下列计算是否正确 ? 提示: 提示: 从点 依逆时针 的半圆, 计算 解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . 原式 = 到点 点B(3, 4), 到原点的距离, 解: 由图知 故所求功为 锐角, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用, * * §3 格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条件 一、区域连通性的分类 二、格林公式 三、简单应用 四、曲线积分与路径无关的定义 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域. G G G 一维单连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通 一维不连通 二维单连通 定理1 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. 证明(1) y x o a b D c d A B C E 同理可证 y x o d D c C E 证明(2) D 两式相加得 G D F C E A B 证明(3) 由(2)知 x y o L 1. 简化曲线积分 A B ? 2. 简化二重积分 x y o 解 x y o L y x o x y o (注意格林公式的条件) 3. 计算平面面积 解 其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。 1 1 -1 -1 L D y x O （格林公式） 从 证明了： 练习1 计算积分 解 ① ② ③ ④ 求星形线 所界图形的面积。 解 y x O D L 1 1 -1 -1 重要意义： 1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系 2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系 4.它的应用范围可以突破右手系的限制，使它的应用 3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式 更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。 如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有 G y x o B A 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2. 设D 是单连通域 , 在D 内 具有一阶连续偏导数, (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3) (4) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 设 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 线, 则 (根据条件(1)) 在D内取