数学及其逻辑结构精讲.ppt

中学数学的逻辑基础 数学概念 数学命题 数学推理 数学证明 “初等数学，即常数的数学，是指形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样。”（恩格斯） 中学数学的逻辑基础，主要指形式逻辑，部分地涉及辩证逻辑。 形式逻辑是关于思维形式及其规律的科学。概念、判断、推理是思维的三种基本形式。 辩证逻辑是关于思维的辩证发展规律的科学，是唯物辩证法在思维领域中的应用。 课题1 数学概念及其逻辑结构 目标： 理解概念的内涵和外延、概念间的关系; 掌握概念定义的方法以及概念划分的方法。 一、概念与数学概念的含义与发展途径 （一）含义 概念是反映事物本质属性的思维形式。 所谓“本质属性”,就是指可以用来从其他事物中区分这个事物的特征性质。它构成某种事物的基本特征, 只为这类事物所具有,是一种事物区别于另一种事物的根本依据。 数学概念是反映思考对象在空间形式和数量关系及其模式方面的本质属性的思维形式。 （二）产生与发展途径 概念是通过概括以及与概括紧密相联系的抽象而形成的。 数学概念的产生和发展有各种不同的途径： 1）从现实模型中直接反映得来，如初等数学中的点、线、面、体、自然数等； 2）在原有数学概念的基础上，经过多级抽象和概括而形成，如近代数学中的群、环、域、空间等； 3）从数学内部的需要产生出来，例如为了把正整数幂的运算法则扩充到有理数幂、无理数幂、实数幂，产生了零指数、负整数指数、分数指数、无理数指数等概念；为了使所有的代数方程都有解，产生了虚数、复数的概念； 4）根据理论上有存在的可能而提出来，例如自然数集、无穷远点、无穷小、圆周率π等； 5）从一定的数学对象结构中产生出来的，例如多边形的顶点、对角线、内角、外角等。 注意： 1.数学概念区别于其他领域概念的一个重要特征是：理想化、多级抽象； 2. 在人的意识中形成概念，同表达它的语言、书写和符号分不开，称表达数学概念的语词为数学概念的名称或术语。  概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都是由一系列的概念及其体系组成的。如果把人的思维比作一个有机体，那么概念就是这个有机体上的细胞。 每个概念都是以下两者的统一： 1）对象或关系的集合——这个概念的外延。 2）这个集合所固有的并且只有这个集合才具备的特征性质——这个概念的内涵。 逻辑思维对概念的要求是：概念必须明确，即弄清一个概念的内涵是什么，外延有哪些。从质和量两个方面明确概念所反映的对象。 二、概念的内涵与外延 （一） 内涵与外延的含义 概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和,概念的外延就是概念所反映的事物的总和 或范围 . 二、概念的内涵与外延 （二）内涵与外延之间的关系 概念的内涵严格确定了概念的外延；反过来，概念的外延完全确定了概念的内涵。因此，对概念的内涵所作的改变一定导致概念外延的改变。具体来说即：这两个方面是相互联系、互相制约的:当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。反过来也一样。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。\例如, （三）内涵和外延的发展变化 概念不是一成不变的，随着事物的发展变化和人类实践的不断深入,概念的内涵和外延也会不断地发展变化。 例如：角的概念、三角函数的概念、数的概念等。 三、概念间的关系 我们只研究可比较概念间的关系. 所谓可比较概念,就是指的在外延上具有某种可比较关系的概念. 例如，“正数”和“整数”就是可比较的概念， 而“正数”和“多边形”就是不可比较的概念. 在可比较的概念间，有相容关系和不相容关系. （一）相容关系 （Compatible relation ） 外延有公共部分的两个概念之间的关系称为相容关系,这两个概念称为相容概念。 在相容关系里,又分为同一关系、交叉关系和从属关系。 1.同一关系（Identity） 外延完全重合的两个概念A和B之间的关系称为同一关系. 例如，“直线”与“一次函数的图像”这两个概念，虽然它们是从不同的角度来说明问题的,但是,它们的外延完全重合,是指同一类对象。 又比如,“等腰三角形底边上的中线”与 “等腰三角形底边上的高”；“等边的矩形”与“直角的菱形”；在同一个圆中“直径”与“最大的弦”等,它们之间的关系都是同一关系。 在同一个思维过程中,具有同一关系的两个概念可以相互代替使用. 2.交叉关系（Intersection） 外延只有一部分重合的两个概念A和B之间的关系，称为交叉关系. 这两个概念称为交叉概念。 例如,“等腰三角形”与“直角三角形”、“负数”与“整数”、“菱形”与“矩形”等概念之间的关系都是交叉关系。具有交叉关系的两个概念是可以互相说明的,但是,必须用“有些”两字来限制,否则就错了。例如,我们可以说“有些整数是负数”，也可以说“有些负数是整数”；