数学建模精讲.ppt

案例一：离散概率模型 问题： 一个电子器件工厂生产一种二极管。质量控制工程师负责保证在产品出厂前检测出次品的二极管。估计这个厂生产的二极管有0.3％是次品。可以对每个二极管逐个进行检验，也可以把若干二极管串联起来成组进行检验。如果检验通不过，也就是说其中有一个或几个二极管是次品。已知检验一个单个的二极管的花费是5分钱，检验一组n 1个二极管的花费是4+n分钱。如果成组检验没有通过，则这一组的每一个二极管必须逐个重新检验以便于找出这些次品。要求寻求检测次品二极管的质量控制的步骤使得用于检验的花费最少。 变量n是决策变量，同时随便选取n＝1,2,3,…，变量C是我们所选择的质量控制步骤的随机的结果。C是一个随机变量。然而量A不是随机的。它表示随机变量C／n的平均或期望值。显然如果n＝1，则A 5分，否则 n 1 ，当分组检验结果全部二极管都是好的，则C 4+n，当检验结果有次晶，则C＝ 4+n +5n，A＝ C的平均值 ／n。其目标就是求n的数值，使A最小 。 案例二：连续概率模型 指数分布的一个非常重要的性质是“无记忆性”。对于任何的t ０和ｓ 0，我们有 1、假设与符号说明 案例四：最后要价仲裁问题 由此，就可以用期望工资水平 的解。 由上述方程组可得 上式表明，双方要价的平均值一定等于仲裁人偏好方案的中值。将上式代入式前方程组中任何一个方程，可得 上式表示双方要价之差等于仲裁人偏好方案中值点概率密度的倒数。 设若仲裁人的偏好方案服从均值为m，方差为б2的正态分布，其概率密度函数为 因为正态分布是对称的，所以其中值等于均值m。由此可得 则有 于是，纳什均衡的要价为 和 由此可见，双方的均衡要价以仲裁人偏好方案的均值（即m）为中心对称，且要价之差随仲裁人偏好方案的离散程度（即б2）的加大而增大。 4、结果分析 数学建模之—— 数学建模案例分析 重庆邮电大学 杨春德 教授 1、符号假设 2、问题的分析 n：每个检验组内二极管的数目；C：一组元件的检验费用 分 ；A：平均检验费用 分／二极管 。 考虑随机一个变量X，它可以取一个离散数值集合中的任何一个数值 对于我们的问题，任何的n 1，随机变量C 取两个可能数值中的一个：如果所有的二极管都是好的，则 C＝4+n 否则 C＝ 4+n +5n 3、建模 因为我们必须重新检验每一个二极管。用p表示所有的二极管都是正品的概率，剩下的可能性 有一个或更多的次品二极管 一定有概率1-p。则C的平均或期望值是 于是模型为： 随机变量C的期望值是 4、模型求解 由强大数定律可知，如果一直使用每组有n个二极管的分组检验 的方法，这个公式提供了平均的检验费用，这时我们需要作为n的 函数来极小化A。 每一个二极管的平均检验费用为 令 则 5、结果分析 对于检验次品二极管的质量控制步骤可以使用分组检验的方法做得非常 经济．逐个检验的花费是5分/个。次品的二极管出现得很少，每一千中只有 三个。使用每一组17个二极管串联起来分组化验，在不影响质量的前提下可 以将检验的费用降低到三分之一 1.5分/二极管 。质量控制步骤的实行将依 赖于若干模型范围之外的因素。也许由于我们操作的特殊性对于10个或20个 一批的二极管或者n是4或5的倍数时检验起来更容易。好在对于我们的问题来 说，在n 10和n 35之间时检验的平均花费A没有明显的变化。在操作过程中的 次品率q＝o.003同样也是必须考虑的。例如，这个数值可能会随着工厂内的 环境条件而发生变化。 将我们上面的模型推广，我们有 在n＝17时我们有灵敏度： 于是，q的微小的改变很可能不会导致检验费用大的变化。更一般的稳健性分析要考虑独立性的假设。我们这里必需要假设在操作过程中接连出现次品的次数之间是无关的。事实上，有可能由于生产环境中的一些异常的原因，如工作台的颤动或电压变化的冲击，使得次品的二极管趋向于出现在一些批次中。这时，独立随机变量模型的数学分析就不能完全处理这个问题。 问题 1、符号说明 3. 建模 2. 问题的分析 其密度函数是 换句话说，对于下一次到达现象发生这件事情来说，我们已经等待的s单位的时间并不影响直到下一次到达现象发生的时间的 条件 分布。指数分布会“忘记”我们已经等待了多长的时间。我们假设放射性衰变以一个未知的速率久。 令 4.模型求解 以概率1成立 数学模型的建立与建模目的密切相关 几类常见建模目的: 1. 描述或解释现实世界的各类现象 常采用机理分析的方法,探索研究对象的 内在规律性 ； （二）、建立数学模型 2. 预测感兴趣的事件是否会发生,或者事物的发展趋势 常采用数理统计或模拟的方法 ； 3. 优化管理、决策或者控制 事物需合理地定义可量化的评价指标及评价方法 5、结果分析 案例