数学建模种群模型精讲.ppt

数学建模 种群模型 数学建模 数学建模 数 学 建 模 ——从自然走向理性之路 第三讲 种群模型 【主要内容】 介绍动物群体的种群模型，包括单 种群模型、多种群模型。 【主要目的】 了解微分方程稳定性理论在数学建 模中的应用。 建模目的是研究充分长时间以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定。 单种群模型 本节介绍Malthus 模型、Logistic 模型及可开 发的单种群模型，应用微分方程的数学工具来研 究种群的增长与变化规律。 1.1 Malthus 模型 设 p(t) ——一给定的物种在时刻t的总数 r(t,p)——该物种在时刻t出生率与死亡率之差， 称为自然增长率。 假设r?为常数，则种群的增长规律可以用以下微分方程表出 （1） 上式称为单一种群的Malthus 模型，若设初值为 p(t0)=p0 ,则（1）式的解为 由于其增长形式为指数形式，故该模型又称为指数增长模型。 1.2 Logistic 模型 Malthus 模型的不合理性在于，它没有反映出这样的事实，即当种群群体庞大到一定程度时，群体中个体之间要为有限的生存空间及资源而进行竞争。因此线性微分方程（1）必须再加上一个竞争项。 有人用某种昆虫做实验，结果表明，单位时间内两个成员发生冲突的次数的统计平均与p2成比例，故这个竞争项的一个合理的选择是-bp2，其中b是常数。 此模型称为阻滞增长模型，是由荷兰生物数学家Verhulst在1837年提出的，又称为Logistic 模型。 当初值p(t0)=p0给定时，（3）的解为 其变化曲线见下图。 注意到 于是，不论初值怎样，群体规模总是小于并且趋于极限值 r/b, 这个极限值的实际意义是环境资源对该种群的最大容纳量，记 N = r/b, 则方程（3）可以写为更常见的形式 其中r是固有增长率，N是环境资源对该种群的最大容量。 有人曾用上述Logistic 模型对?1790～1950 年美国人口的数量作过预测，与实际数据相当吻合，误差不超过?2.5%。 1.3 可开发的单种群模型 考察一个渔场，我们要建立一个在有捕捞条件下鱼的总量所满足的方程，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量最大。 模型假设? 记t时刻渔场鱼的总量为p(t)，r为固有增长率，N为环境资源允许的最大鱼量。 1) 在无捕捞条件下， p(t)服从?Logistic 模型 2) 单位时间的捕捞量h与渔场鱼量成正比，比例 系数为 k?，表示单位时间捕捞率。于是 模型建立 ?