数学模型_03简单的优化模型精讲.ppt

优化模型 优化问题可以说是人们在工程技术，经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。 三、四两章讨论的是用数学建模的方法来处理优化问题，即建立和求解所谓的优化模型。虽然由于建模时要作适当的简化，可能使结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费用。如果在建模的基础上再辅之以适当的经验和实验，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。 第三章介绍较简单的优化模型，归结为微积分中的函数问题，可以直接用微分法（求导法）解决。 具体做题时，首先要确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受到哪些条件的限制（如果有的话），然后用数学工具表示。当然，在这个过程中要对实际问题作若干合理的简化假设。最后，在用微分法求出最优决策后，要对结果做一些定性、定量的分析和必要的检验。 3.5 血 管 分 支 背景 机体提供能量维持血液在血管中的流动 给血管壁以营养 克服血液流动的阻力 消耗能量取决于血管的几何形状 在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则 研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度 问题 模型假设 一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面 血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动 血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度近似与血管半径成正比 q q1 q1 A B B′ C H L l l1 r r1 ? ? q=2q1 r/r1, ? ? 考察血管AC与CB, CB′ 粘性流体在刚性管道中运动 ? p~A,C压力差，? ~粘性系数 克服阻力消耗能量 提供营养消耗能量 管壁内表面积 2?rl 管壁体积?(d2+2rd)l,管壁厚度d与r成正比 模型假设 q q1 q1 A B B′ C H L l l1 r r1 ? ? 模型建立 q q1 q1 A B B′ C H L l l1 r r1 ? ? AC机体为血流提供能量 AC、CB、CB’机体为血流提供能量 模型求解 q q1 q1 A B B′ C H L l l1 r r1 ? ? 模型解释 生物学家：结果与观察大致吻合 大动脉半径rmax, 毛细血管半径rmin 大动脉到毛细血管有n次分岔 观察：狗的血管 血管总条数 推论 n=？ q2 U(q1,q2) = c q1 0 3.6 消费者均衡 问题 消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。 设甲乙数量为q1,q2, 消费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相交），记作 U(q1,q2)=c U(q1,q2) ~ 效用函数 已知甲乙价格 p1,p2,消费者有钱s，试分配s,购买甲乙数量 q1,q2,使 U(q1,q2)最大. 模型及 求解 已知价格 p1,p2,钱 s, 求q1,q2,或 p1q1 / p2q2, 使 U(q1,q2)最大 s/p2 s/p1 q2 U(q1,q2) = c q1 0 几何解释 直线MN: 最优解Q: MN与 l2切点 斜率 · M Q N · · 结果解释 ——边际效用 消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。 第三章 简单的优化模型 3.1 存贮模型 3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火 3.4 最优价格 3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输 现实世界中普遍存在着优化问题. 静态优化问题指最优解是数(不是函数). 建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数. 求解静态优化模型一般用微分法. 静 态 优 化 模 型 3.1 存贮模型 问 题 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 要 求 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系。 问题分析与思考 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。 日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。 10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元。 50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元。 平均每天费用950元 平均每天费用2550元 10天生产一次平均每天费用最小吗? 每天费用50