数学物理方法-ch2_复变积分精讲.ppt

总结上面的结果，就有 或者，更一般地 例5 计算积分 I ( n 为整数） l ? a ? a 如果 l 不包含 a 点，被积函数总解析,按柯西定理， I=0; 如果 l 包含 a 点,又要分两种情况： n?0，因被积函数解析， 故 I=0; n0，被积函数在l 内有奇点 a。 解： n0,被积函数在l 内有奇点 a l R ? a C 用半径为 R 的圆周 C 包围 a 点，则 l+C 构成复连通区域，因此原积分变成圆周 C上的积分，在 C 上 故: 这样, (一) n?-1, (二) n=-1, 总结起来有 例6 计算积分 其中 c 是正向圆周|z|=a 0 显然函数ezsinz 在复平面上处处解析，由 Cauchy 定理知 故 解： 两个有用的引理 引理1：适用于半径无穷小的圆弧 引理2：适用于半径无穷大的圆弧 引理1 若函数f(z)在z=a点的(空心)邻域内连续，且当θ1≤arg(z-a)≤ θ2 |z-a|→0时，(z-a)f(z)一致地趋近于k,则 其中Cδ是以z=a为圆心，δ为半径，夹角为θ2-θ1的圆弧。 引理2 设f(z)在∞点的邻域内连续，当θ1≤arg(z-a)≤ θ2，z→∞时，zf(z)一致地趋近于K,则 其中CR是以原点为圆心，R为半径，夹角为θ2-θ1的圆弧。 证明略 Cauchy积分公式 有界区域的Cauchy积分公式 无界区域的Cauchy积分公式 若f(z)是区域 内的单值解析函数， 的边界C是分段光滑曲线，a为G内一点，则 其中积分路线沿C的方向。 定义：有界区域的Cauchy积分公式 证：在G内作圆|z-a|r，则根据复连通区域的柯西定理，有 Cauchy积分公式表明：解析函数完全由其边界值决定 此结果应与r的大小无关，故可令r→0 有界区域的Cauchy积分公式 Cauchy积分公式的特殊形式，取C为以a为圆心，R为半径的圆周， 即可得到 这个结果称为均值定理：解析函数f(z)在解析区域G内 任意一点a的函数值f(a)，等于以a为圆心的任一圆周上 的函数值的平均 无界区域的Cauchy积分公式 c为简单曲线，D为c外区域。 若f(z)在D内解析， 上连续， 当 时， f(z)一致趋向于零， z为D内一有限点，则 证： Cauchy积分导数公式（1/2） Cauchy积分导数公式（2/2） Liouville定理 若f(z)在有限复平面上解析，在全复平面上有限 则 ，即 证： 小结 引入新运算：复变函数的积分运算 解析函数的第二大特征：Cauchy定理 解析函数——Cauchy积分公式表示 解析函数的导数存在且是解析函数 本章基本要求： 掌握Cauchy定理和Cauchy公式，理解其证明方法及关键步骤。 掌握(2．3．4)式及(2．3．5)式 补充例一、计算积分 I, 其中c为不经过点0和1的正向曲线。 解：(1) 如果 0 和 1 都不在 c 中，则被积函数解析，因此, 由 Cauchy 定理得 I=0; (2) 若仅 0 在 c 内, 函数 在c上及c包围的区域解析，由 Cauchy 积分公式，得到 (3)若仅 1 在 c 内, 函数 在c上及 c 包围的区域解析， 由 Cauchy 积分公式，得到 (4) 若 0和 1 都在c内，由Cauchy 定理 ? z=0 ? z=1 c1 c0 而在c0上及c0包围的区域内 f0(z) 解析，同样，在 c1上及c1 包围的区域内 f1(z) 解析，故利用 Cauchy 积分公式，有上面的结果得 最后，我们有： 其中D为曲线c包围的区域。 补充例二、利用Cauchy 积分公式计算 积分 I, 其中 a?0, |a| ??, ?0内解析，由 Cauchy 公式， ? ? c ?a O 解：令 ，则 （1）若｜a｜ρ， 在圆｜z｜≤ρ内解析，由 Cauchy 公式， （2）若 |a| ? , 在圆 内解析，由 Cauchy 公式， ? ? ? a c * * * * * * * * 第二章 复变函数积分 讲授要点 复变积分的定义和基本性质 复变积分的计算 柯西积分定理 柯西积分公式及其推论 吴崇试，《数学物理方法》第三章 说明 复变积分 定义 设