数学物理方法-第四章精讲.ppt

学时：4 主要内容 孤立奇点，留数 用留数计算定积分 重点和要求 孤立奇点的概念和性质，留数的概念和计算? 用留数计算定积分的典型例子? 作业: P55:1.(1),(2),(5),(7),(9). 补充： 2.(1),(2),(3) P63: 1. (1) 2.（1),（5） 3.（3),(5) 用留数定理计算实积分 为解析点，洛朗展开无负幂项 例题有感：1.由于-i是10阶极点，并且在积分区域的内部，计算起来比较难，只有用留数定理来做。3是一阶极点，做起来不难。?的留数也可以直接用公式做。 2. 求积分时，一定要求出积分路径里面的留数和。 §4-2 留数的应用——计算定积分 留数理论有广泛的应用,其中最重要的应用之一是计算定积分. 方法是把要计算的实变或复变定积分与某个复变围道(复平面上的简单闭合曲线)上的积分联系起来,再用留数理论算出这个围道积分. 其中最关键的两点是：选取恰当的复变函数作为被积函数；选取恰当的封闭积分曲线。 这一节通过几个典型例子说明这种方法. F(z) 具体见下一页 图示见教案 提醒偶函数的性质 图示见教案 补充例题 * * * 第四章、留数 留数理论是复变函数的积分与级数相结合的产物，是复变函数的重要组成部分，留数的理论与方法在复变函数中占有重要的地位，也是解决有关实际问题的有力工具。在物理光学，统计物理，量子力学，固体物理乃至量子场论中有着极其广泛的应用。 引言 关于函数的奇点及其在孤立奇点邻域内性质的研究对于许多问题的求解有着重要意义。 这一章先根据Lanrent级数将奇点分类,在此基础上研究留数理论,然后应用留数理论计算积分。 奇点类型的判断 无穷远点与有限远点分类总结 与有限区域中的三类孤立奇点的定义相比较，按极限性质的分类方法是相同的，按洛朗展开性质的分类方法也只是将展开式中的负幂项改为正幂项，这正是无穷远点与有限远点不同所导致的结果。 无穷远点类型的判断 §4-1 留 数 定 理 residual 留 数 或者用a来表示. k 知道了奇点的类型后，对其留数的求法有用。 极点的留数的求法 Taylor展开 极点阶数的判断 求留数的补充例题 做题时，直接用洛朗展开求a-1，还是判断奇点的类型，用公式算，同学们要具体问题具体分析，熟能生巧。 先求出一阶极点的留数 利用留数求积分的补充例题 同学们自己判断. 1.一般来说，求函数在其奇点z0处的留数，只需求出它在以z0为中心的圆环域内的洛朗系数中 a-1(z-z0)-1项的系数a-1就可以了。 但是如果知道奇点的类型，对求留数很有用。 比如极点的留数可用公式，本性奇点的留数必须展开，可去奇点的留数为0. 总结 2. 由留数定理求积分时，只需求积分路径内的孤立奇点的留数之和。 无穷远点的留数 图示同学们自己画. 无穷远点留数的定义 总结无穷远点的留数的求法 补充例题