数值20(数值积分2)精讲.ppt

*/31 Newton-Cotes型积分公式 Gauss型积分公式 《数值分析》 20 ? ? 复合梯形求积公式的递推 将积分区间[a,b] n 等分。取 h b-a /n,xj a+jh * 避免了原有节点上函数值的重复计算, 节约了将近一半的计算量 递推 T1 ? T2 ? T4 ? ········ ?T2n * 例1 试用复合梯形公式计算积分 k 1 2 3 4 5 Tn 0.座机电话号码 0.座机电话号码 0.座机电话号码 0.座机电话号码 0.座机电话号码 k 6 7 8 9 10 Tn 0.座机电话号码 0.座机电话号码 0.座机电话号码 0.座机电话号码 0.座机电话号码 递推公式能使计算量得到较大的节约, 那么能否在此方法的基础上进行适当的改进以得到更好的数值结果呢？ 例2. 基于中心差分公式的研究更高阶近似公式 * 例3. 用Richardson外推公式计算f x x2e-x在x 0.5的导数。 * 松弛思想 目标值Q有两个精度相当的近似值F1和F2,如果将这两个近似值加工成更高精度的结果呢?改善精度的一种简便而有效的办法是,取两者的某种加权平均值作为改进值 * 成功案例: * 更仔细检查复合梯形公式的误差,对一个无穷次可微函数f 详细复合梯形公式误差推导参考Concise Numerical Mathematics , R. Plato * 龙贝格 Romberrg 数值积分公式 * 具体的例子: 梯形公式外推是Simpson公式, Simpson公式外推是Boole公式 * * 千古绝技割圆术 * 连线杂志 1. Mathematician Predicts Who Will Live and Die in Game of Thrones 2. When Extrapolation Fails Us: Incorrect Mathematical Conjectures 程序片段1: Matlab Code : Romberg 积分 function r romberg f,a,b,n % Computes approximation to definite integral % Inputs: Matlab function specifying integrand f, % a,b integration interval, n number of rows % Output: Romberg tableau r h b-a ./ 2.^ 0:n-1 ; r 1,1 b-a * f a +f b /2; for j 2:n subtotal 0; for i 1:2^ j-2 subtotal subtotal + f a+ 2*i-1 *h j ; end r j,1 r j-1,1 /2+h j *subtotal; for k 2:j r j,k 4^ k-1 *r j,k-1 -r j-1,k-1 / 4^ k-1 -1 ; end end format long, romberg inline log x ,1,2,4 * 插值观点下的数值积分 多项式插值 分段低次多项式插值 分段线性和样条插值 Newton-Cotes家族 高阶NC公式来源于高次插值多项式,而高次多项插值多项式将产生Runge现象, 所以高阶NC公式不稳定。 分段低阶数值积分 复合数值积分 简单函数 多项式、三角函数等 近似复杂函数 通过进一步选取节点提高精度 切比雪夫多项式 勒让德多项式 * 抽象的威力 确定n+1个待定系数 自由变量 可以联立n+1个方程, 则对1,x, ···, xn成立。 * 抽象的威力 确定2n+2个待定系数 自由变量 可以联立2n+2个方程, 则对1,x, ···, x2n+1成立。 代数精度 2n+1 例4. 插值型求积公式 代数精度为3,取 f x 1, x, x2, x3 1 2 3 4 4 - 2 ×x02 x12 x02 3 - 1 ×x02 x02 1/3 ? ? ? 两点梯形公式代数精度为1 三点Simpson公式 代数精度为3 由两点高斯型求积分公式的构造过程不难想象, 讨论一般高斯型求积公式构造是不可能直接求解类似的非线性方程组的。 两点Gauss公式代数精度为3 定义 如果求积节点x0, x1,···,xn,使插值型求积公式 的代数精度为2n+1,则称该求积公式为Gauss型求积公式, 这些求积节点称为Gauss点。 定理7.2 如果多项式wn+1 x x – x0 x – x1 ··· x – xn 与任意的不超过n次的多项式P x 正交,即 则