数值第1,2章精讲.ppt

提问：数值分析是做什么用的？ 基函数满足下列插值条件 H3(x)称为三次埃尔米特插值多项式。 x1 x0 x1 x0 1 0 0 0 ?1(x) 0 1 0 0 ?0(x) 0 0 1 0 ?1(x) 0 0 0 1 ?0(x) 导数值 函数值 条 件 函 数 表2-3 即 即 插值点的Lagrange 一次基函数. 可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式为 定理3 满足条件式 的三次埃尔米特插值多项式存在且唯一。 二、误差估计 定理4 设f(x)在包含x0、x1的区间[a,b]内存在四阶导数，则当x∈[a,b]时有 且与x有关) 例1 已知f(x)=x1/2在X=121和144时的函数值及其一阶导数的数据见下表,用埃尔米特插值公式计算1251/2的近似值,并估计其截断误差. 得 由 可求得 例2 的抛物插值多项式,且计算f (3)的近似值并估计误差。 例3 设 解 插值为多项式 于是 因为 可得 例4 已知 用线性插值计算sin0.33 解 (1) 用线性插值 第三节 均差与牛顿插值公式 一、差商及其基本性质 定义1 称 为 f (x)在x0、x1点的一阶差商.一阶差商的差商 称为函数f (x)在x0、x1 、x2 点的二阶差商. 一般地，n-1阶差商的差商 称为f (x)在x0 , x1 , …, xn点的 n 阶差商。 差商的计算步骤与结果可列成差商表，如下 ... f [x0, x1, x2 , x3] ... f [x0, x1, x2] f [x1, x2, x3] ... f [ x0 , x1] f [ x1 , x2] f [ x2 , x3] ... f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) ... x0 x1 x2 x3 ... ... 三阶差商 二阶差商 一阶差商 函数值 xk 表5-1 这一性质可以用数学归纳法证明，它表明差商与节点的排列次序无关，即 f[x0 , x1 , x2 , ..., xn]= f[x1 , x0 , x2 , ..., xn]=… = f[x1 , x2 , ..., xn , x0 ] 性质1 差商可以表示为函数值的线性组合，即 称之为差商的对称性。 性质2 若f(x)在[a,b]上存在n阶导数, 且节点x0 , x1 ,…, xn?[a,b] ,则至少存在一点 ??[a, b] 满足下式 例1 f(x)=-6x8+7x5-10,求f[1,2, …,9]及f[1,2, …,10]. 解 f (8)(x)=-6·8 !, f [1,2, …,9]=-6, f (9)(x)=0, f [1,2, …,10]=0. 例2 已知 12 15 2 0 7 4 3 1 计算三阶差商 解 做差商表 7 三阶差商 二阶差商 所以 二、牛顿插值多项式 如此继续下去，可得一系列等式 设x是[a，b]上一点，由一阶差商定义得 同理，由二阶差商定义 得 得 依次把后式代入前式，最后得 其中 可见, Nn(x)为次数不超过n 的多项式,且易知 Nn(x) 满足插值条件式,故其为插值问题的解,称之为牛顿插值多项式。 由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式 是等价的,即 Ln(x) ?Nn(x) 且有如下递推形式 和余项公式 由此即得性质2。且 例3 已知 求满足以上插值条件得牛顿型插值公式。 1 12 15 2 0 7 4 3 解 在例1中，我们已经计算出 则牛顿三次插值多项式为 0.0344 四阶差商 0.1970 0.2137 三阶差商 0.2800 0.3588 0.4336 1.1160 1.1860 1.2757 1.3841 0.4107 0.5781 0.6967 0.8881 1.0265 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 二阶差商 一阶差商 f(xk) xk 例5 已知f(x)=shx的数表,求三次牛顿插值多项式,并由此计算f(0.596)的近似值。 解 由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为