数值第二章_非线性方程求根精讲.ppt

例：求解方程 要求达到精度|xn-xn-1|≤10-5，取x0= -0.99。 解：先用Newton迭代法：f `(x)=x2-1 x2=21.69118 x3=15.15689 x4 = 9.70724 x5 = 6.54091 x6 = 4.46497 x7 = 3.13384 x8= 2.32607 x9 = 1.90230 x10= 1.75248 x11= 1.73240 x12= 1.73205 x13= 1.73205 需迭代13次才达到精度要求 用Newton下山法，结果如下： k=0 x0 =-0.99 f(x0) =0.666567 k = 1 x1 =32.505829 f(x) = 11416.4 ? =0.5 x1 =15.757915 f(x) = 1288.5 ? =0.25 x1 =7.383958 f(x) =126.8 ? =0.125 x1 =3.196979 f(x) =7.69 ? = 0.0625 x1 =1.103489 f(x)=-0.655 k = 2 x2 = 4.115071 f(x) =19.1 ? = 0.5 x2 = 2.60928 f(x)=3.31 ? =0.25 x2 =1.85638 f(x)=0.27 k = 3 x3 =1.74352 f(x)=0.023 k = 4 x4 = 1.73216 f(x)=0.00024 k = 5 x5 = 1.73205 f(x)=0.00000 k = 6 x6 = 1.73205 f(x)=0.000000 k 下山因子 xk f(xk) 设f(x)=(x-x*)m g(x) ,m ?2，m为整数，g(x*)?0,则x*为方程f(x)=0的m重根。此时有 f(x*)=f `(x*)=……= f(m-1) (x*)=0, f(m) (x*) ?0 2.4.5 重根情形 《方法一》只要f `(xk ) ?0，仍可用Newton法计算，此时为线性收敛。 《方法二》若取 则?`(x*)=0，用迭代法 求m重根，则具2阶 收敛，但要知道m。 《方法三》还可令 则 故x*是μ(x)=0的单根，对μ(x)用Newton法，可得 它是二阶收敛的，每次计算需要计算函数值，一阶、二阶导数。 关于精度控制问题 《精度控制方法一》 是一种比较简单的精度控制方法，特别是求复数根的时候，但其与真正误差的偏差为 当 则 这时 是很好的停机准则 但若 很大或很小，则与实际误差偏差较大。 关于精度控制问题 《精度控制方法二》 是一种最常用的停机准则，对于不动点（简单）迭代法 L难估计且L越大误差越大，故 这时取 ，可以得到更好的停机准则 关于精度控制问题 《精度控制方法二》 是一种最常用的停机准则，对于牛顿法 由 K越大，?k越接近于xk，则越接近于实际误差。 得 P27-28 习题二：2，5，8。 本章作业 二分法MATLAB程序 取x0=2，对上述四种方法，计算三步所得结果如下： k xk (1) (2) (3) (4) 0 x0 2 2 2 2 1 x1 3 1.5 1.8 1.75 2 x2 9 2 1.752 1.732143 3 x3 87 1.5 1.738099 1.732051 注：x*=1.7320508…… 收敛阶定义：