数值计算——第五章数值积分和微分1精讲.ppt

华长生制作 传统方法的困境 数值积分的基本思想 数值积分的一般形式 代数精度问题 数值积分的基本思想 数值积分的一般形式 本章要求 要求熟练掌握的内容： 能灵活运用梯形公式和辛普生公式计算数值积分 求积公式的代数精度的定义，能判断求积公式的代数精度； 能灵活运用复化梯形公式和复化辛普生公式计算数值积分 要求掌握的内容： 插值求积公式和牛顿－科特斯公式的导出、系数的性质特点 变步长法则和龙贝格算法。 求积公式的余项比较 我们知道,两个求积公式的余项分别为 单纯的求积公式 复化求积公式的每个小区间 复化求积公式精度提高。 复化求积法通过将积分区间分成n等份，来减小截断误差，因此n越大积分精度越高。但n太大，运算量也增大，舍入误差也增大；n太小，精度可能达不到。如何确定适当的,使得计算结果达到预选给定的精度要求呢？ 在实际计算中,常采用积分步长的自动选择。具体地讲,就是在求积过程中,将步长逐次折半,反复利用复合求积公式,直到相邻两次的计算结果之差的绝对值小于允许误差为止。这实际上是一种事后估计误差的方法——变步长求积算法。 §5.3 变步长求积和龙贝格算法 问题 §5.3 变步长求积和龙贝格算法 5.3.1 变步长梯形求积法 对于复合梯形公式，若将积分区间[a,b]n等分,积分近似值记为Tn ,积分精确值记为I ,则有: 把每个子区间分半,也就是将积分区间[a,b] 2n等分,则有 则有 当 在连续,且函数值变化不大时,即有 给定求积精度?，如何取n ? 5.3.1 变步长梯形求积法 可用来判断迭代 是否停止。 变步长梯形法计算过程 ⑴ ⑵ ⑶ 可以看到,每次都是在前一次的基础上将子区间再对分。原分点上的函数值不需要重复计算,只需计算新分点上的函数值即可,一般地计算公式为： 由上节变步长梯形公式得到的积分近似值的误差大致是 ,因此人们期望, 如果用这个误差作为对 的一种补偿,则得到的求积公式的代数精度会有所提高。 （1） 5.3.2 龙贝格公式 ? 龙贝格算法是在复化梯形公式误差估计的基础上，应用线性外推的方法构造出的加速算法。 5.3.2 龙贝格公式 通过直接验证可知 也就是说 , 用梯形公式二分前后的两个积分值 与 按照公式 1 做线形组合,其结果正好是用抛物线公式得到的积分值 。 2 即 同理可知,用抛物线公式得到的积分近似值 的误差大致是 ,因此对抛物线公式进行修正, 得到 3 也就是说 , 用抛物线公式二分前后的积分值 与 按照公式 3 作线形组合, 其结果正好是用柯特斯公式得到的积分值 。 通过直接验证可知 4 同理可知，用柯特斯公式得到的积分近似值 的误差大致是 ,因此, 对柯特斯公式进行修改,得到求积公式 5 为此,构造求积公式 6 称 6 式为龙贝格 Romberg 公式。 龙贝格公式是一种计算积分的方法。在变步长的求积过程中, 运用 2 , 4 , 6 式可以将精度低的梯形值 逐步加工成精度较高的抛物线 ,柯特斯值 与龙贝格值 。 总之有： Romberg 序列 计算f a , f b , 算出 。 2 把[ a , b] 2等分, 计算 , 算出 与 。 3 把[ a , b] 4等分,计算 算出 与 。 龙贝格求积的计算步骤如下： 4 把[ a , b] 8 等分, 计算 算出 与 与 。 5 把[ a , b] 16等分, 计算 算出 与 与 , 继续重复进行, 直到 时停止计算, 就是所求的积分值. 允许误差 Romberg 算法： ? ? ? ? … … … … … … ? T1 0 0 T ? T8 3 0 T ? T4 2 0 T ? T2 1 0 T ? S1 0 1 T ? R1 0 3 T ? S2 1 1 T ? C1 0 2 T ? C2 1 2 T ? S4 2 1 T Romberg 算法 本章要求 * * * * 第五章 数值积分和数值微分 ——函数无解析表达式或表达式过于复杂时 定积分问题的数值解法 主要内容 导数或微分数值计算 求函数 f x 在区间 [a,b] 上的定积分 是微积分学中的基本问题。 § 5.1 数值积分概述 对于积分 但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象: 传统方法的困境 以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用! 只能建立积分的近似计算方法