数值计算方法--第一章--91568939精讲.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * 玉溪师范学院 理学院物理系 提问：数值计算方法是做什么用的？ 研究对象：数值问题——有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。 如一阶微分方程初值问题 求函数解析表达式 数学问题 求函数 在某些点 的近似函数值 数值问题 程序 设计 上机 计算 设计高效、可 靠的数值方法 数值 问题 求解 近似结果 输出 重点讨论 数值问题的来源： 实际 问题 建立数学模型 数值 问题 数值方法的设计原则 收敛性：方法的可行性 稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响 便于编程实现：逻辑复杂度要小 计算量要小：时间复杂度要小，运行时间要短 存贮量要尽量小：空间复杂度要小 可靠性分析 计算复杂性 误差估计：运算结果不能产生太大的偏差且 能够控制误差 物理学中： Origin+fortran 七八十年代物理学家 Origin +C或C++ 现代物理学家 数学中： Matlab Mathematics Fortran C C++ 物理问题中： §1 误 差 /* Error */ 一、 误差的来源与分类 /* Source Classification */ 1、从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */ 2、通过观测得到模型中某些参数（或物理量）的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */ 3、数学模型与数值算法之间的误差 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 4、由于机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新的误差 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */ 二、 误差分析的基本概念 /* Basic Concepts */ 设 为真值（精确值）， 为 的一个近似值 称 为近似值 的绝对误差，简称误差。 ?注： ?误差可正可负，常常是无限位的 ?绝对误差限/* accuracy */ ——绝对值的上界 如： ?绝对误差还不能完全表示近似值的好坏 （绝对误差/* absolute error */） 近似值 的误差 与准确值 的比值： 称为近似值 的相对误差，记作 ?注： ?实际计算时，相对误差通常取 因为 （相对误差/* relative error */ ） ?相对误差也可正可负,常常是无限位的 （有效数字/*Significant Digits*/ ） ?相对误差限——相对误差的绝对值的上界 /* relative accuracy */ 如： 3位 6位 若近似值 与准确值的误差绝对值不超过某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 位，则 称 有 位有效数字 ?有效数字(另外一种定义形式) 注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效数字。12300如果写成0.123?105，则表示最多只有3位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！ 用科学计数法，记 其中 ， 若 （即 的截取按四舍五入规则），则称 为有 位有效数字，精确到 。 例1： 问： 有几位有效数字？请证明你的结论。 证明： 有 位有效数字，精确到小数点后第 位。 4 3 规格化形式 ?注： ?若 的每一位都是有效数字，则 称是有效数 特别，经“四舍五入”得到的数均为有效数 将 的近似值 表示为 ， 若 是有效数字，则相对误差不超过 ； 反之，若已知相对误差 ，且有 ， 则 必为有效数字。 例2：为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解： 假设 ?* 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为 要保证其相对误差小于0.001%，只要保证