锐角三角函数—巩固练习--带案例.doc

锐角三角函数—知识讲解 【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 要点诠释：　(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．　　(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，　　，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．　　(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°∠A90°间变化时，，tanA＞0． 要点二、特殊角的三角函数值 　　　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 　　要点诠释：　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系 　　如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．　　(1)互余关系：，；　　(2)平方关系：；　　(3)倒数关系：或；　　(4)商数关系：．　　要点诠释：　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【例题】类型一、 1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值． 【答案】． ∴，，；，，． 【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值． 举一反三：【变式】在中，，若，，则 ， ， ， ， ． 【答案】 ， ，， ． 类型二、2．求下列各式的值： (1)sin30°-2cos60°+tan45°； (2)； (3)． 【答案】；(2)原式； (3)原式． 【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简． 举一反三： 【变式】在中，，若∠A=45°，则 ， ， ， ， ． 【答案】， ，， ． 类型三、求锐角； (2)已知求锐角．　【答案】 ∴锐角=30°．(2)先将已知方程因式分解变形．  ∴锐角=45°． 【总结升华】要求等式中的锐角，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看作未知数，解方程求得它的解(值)，然后再求这个锐角．类型四、 4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD＝6，试求cos∠APC的值． 【答案】． 又∵ CD＝6，AB＝10，∴ 在Rt△PAC中， ． 【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，，PC、PA均为未知，而已知CD＝6，AB＝10，可考虑利用△PCD∽△PAB得． 5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因