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课题：正弦定理 教材：普通高中课程标准实验教科书 数学必修5 【教学目标】 （1）知识与技能： ①掌握正弦定理的推导，并能用正弦定理解斜三角形; ②正确使用计算器进行运算. （2）过程与方法：通过从特殊到一般的方法研究正弦定理，按照“猜想－思考－交流－实验－证明－得出结论”的方法进行启发式教学，使学生从中体验数学发现和创造的历程，养成良好的学习思维习惯. （3）情感态度与价值观 ①体会正弦定理结构中简洁、对称、和谐的形式美; ②通过知识之间的联系与推理使学生明白事物之间的普遍联系与辩证统一. 【教学重点】正弦定理的推导 【教学难点】正弦定理的多种推导思路与方法 【教学方法】启发引导、探究讨论 【教学手段】应用多媒体（PPT，几何画板，实物投影）及计算器辅助教学 【教学过程】 正弦定理的探究发现 师：请同学们每人在课前发的纸上用直尺任作一个三角形，用量角器、直尺量出三角形的各边和对角，用计算器算出各边与对角的正弦之比 （学生动手测量计算，完成下表） a= A= b= B= c= C= 师：（实物展示3位学生测量结果）同学们测量出各边与对角正弦值的比.看看各位同学的实验结果 对此结论大家会有什么样的想法？ 学生4：猜想有 （再用计算机软件《几何画板》来验算一下：从特殊到一般，演示①直角三角形，演示②正三角形，演示③任意三角形，都有） 正弦定理证明： 师：通过画图，测量和电脑演示得出的结论只是实验结果，不能直接拿来使用，是否具有一般性必须经过严格证明.这正是数学的严谨性所在. 下面来一起证明：不妨设∠C为△ABC的最大内角（板书证明――分类讨论） （1）首先在Rt△ABC中（如图） ， 即： （2）其次在锐角△ABC中，过顶点A作BC边上高AD，在Rt△ABD和Rt△ACD中高AD＝csinB=bsinc即，同理可得： 所以在锐角△ABC中也有 （3）再次在钝角△ABC中，过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D，此时有且,则同理有 所以在钝角△ABC中也有 综合以上知：在△ABC中，都有 简评：经过画、量、算、猜、证得到证明. 称为正弦定理. （板书课题：正弦定理） （板书正弦定理内容：符号形式） 师：请大家再研究讨论看有没有其它证法（参照课本第5页提示） （小组合作讨论研究） （实物展示学生5证法）利用向量的数量积证明 在△ABC中,有.不妨设∠C为最大角,过点A作AD⊥BC于D,于是 即0= ，其中，当∠C为锐角或直角时，＝90°-C;当∠C为钝角时，＝C -90°.故可得csinB-bsinC=0,即同理可得所以 （学生阅读课本向量法证明过程） （实物展示学生6证法）利用建立直角坐标系，确定三角形各顶点坐标 以AB所在直线为x轴，过A点且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系，则C(bcosA,bsinA),过C作AB平行线CD（如图），过A作BC平行线AD，CD与AD交于D点，则D（acos(π-B),asin(π-B)）,即D（－acosB,asinB）.CD∥AB,故C、D纵坐标相等，即bsinA=asinB,所以，同理可得，所以 小结学生各种证法：板书各种方法 师：请同学们观察正弦定理的结构，看它有什么特点？用文字语言把它叙述出来 学生7回答：（板书：在三角形中各边与它所对角的正弦之比相等） 师：这个式子中包含了哪几个等式？每个式子中各有几个量？它可以解决三角形中的哪些类型问题？ 学生8回答：，，，每个等式都有四个量－两边和各边的对角，知道了其中的三个量就可求出第四个量 正弦定理的应用： 师： 比如在一个三角形中知道了两个角和一条边，就可求出另一角的对边，进而求出其它角与边。 例1.如图,在△ABC中，A=30°,C=100°,a=10,求c, b(精确到0.01) (分析)已知三角形的两角和一角的对边，求另一角的对边，直接用正弦定理;求第三角及对边，可利用三角形的内角和与正弦定理 解：在三角形ABC中，因为，所以≈19.70 ≈15.32 因此，b,c的长分别为15.32和19.70 评注：已知三角形两角和任一边求其它各边和角可直接利用正弦定理 变：若在三角形中已知两边及一边的对角，如何求另一边的对角？ 例2. 在△ABC中，A=30°,a=10,c=15,求角C (精确到0.1°) （分析）已知三角形的两边和一边的对角，求另一边的对角，直接用正弦定理; 解：由正弦定理得＝0.75 所以 C1≈48.6°或C2≈180°－48.6°＝131.4° 由于C2+A=131.4°+30°=161.4°≤180°,故C2也符合要求，从而C有两解 C1≈48.6°或C2≈131.4° 变：若将原题中a=10改为20呢？ ＝≈0.375 则C1≈22.0