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概率论与数理统计教程沈恒范主编第4章正态分布
第四章 正态分布 §4.1 正态分布的概率密度与分布函数 §4.2 正态分布的数字特征 §4.3 二维正态分布 §4.4 正态随机变量线性函数的分布 §4.5 中心极限定理 §4.1 正态分布的概率密度 与分布函数 §4.2 正态分布的数字特征 小 结 思考题 已知连续随机变量 的概率密度为 则 的数学期望为 方差为 解: 的概率密度可以写为 §4.2 正态分布的数字特征 由此可知, 于是有, 补充例题 设随机变量 求随机变量函数 的概率密度、数学期望与方差. 解: 已知 则 的概率密度为 §4.2 正态分布的数字特征 当 时, 显然有 当 时, 有 所以, 的分布函数为 §4.2 正态分布的数字特征 对 求导数, 即得 的概率密度 注意到 在 处不可导, 不妨定义 下面求 的数学期望和方差: §4.2 正态分布的数字特征 又 置换积分变量 得 所以, 的方差 §4.2 正态分布的数字特征 §4.3 二维正态分布 [定义] 设二维随机变量 的联合概率密度为 则称二维随机变量 服从二维正态分布, 记作 其中 是分布参数. §4.3 二维正态分布 §4.3 二维正态分布 [定理1] 设二维随机变量 服从二维正态分布 则 与 的边缘分布都是正态 且无论参数 为何值, 都有 证: 的边缘概率密度 分布, §4.3 二维正态分布 其中 设 则 由此可得, 同理, §4.3 二维正态分布 由定理1可知: 化为二次积分,得 §4.3 二维正态分布 设 则得 其中 [定理2] 证: §4.3 二维正态分布 所以 设 得 [定理3] 则 与 独立的充要条件是 证: 必要性: 若随机变量 与 相互 独立, 则 充分性: 则二维正态分布的联合密度可化为: §4.3 二维正态分布 所以,随机变量 与 相互独立. [例1] 设随机变量 与 相互 独立, 都服从标准正态分 布 解: 因为随机变量 与 相互 独立, 且已知 所以, §4.3 二维正态分布 当 时, 有 §4.3 二维正态分布 所以, 的分布函数 当 时, 显然有 §4.3 二维正态分布 [此分布称为自由度为2的 分布.] 1. 二维正态分布的边缘分布为正态分布: 若 则 且 §4.3 二维正态分布 小 结 2. 则 与 相互独立 思考题 1. 设二维随机变量 服从二维正态分布, 已知 求 的联合概率密度. 解: 已知 与 的相关系数为 §4.3 二维正态分布 所以 的联合概率密度 §4.3 二维正态分布 2. 设 服从二维正态分布, 求 落在椭圆 内的概率. 解: 其中积分域 为椭圆形区域 §4.3 二维正态分布 利用广义 计算二重积分得 极坐标 §4.3 二维正态分布 §4.4 正态随机变量的 线性函数的分布 [定理1] 设随机变量 服从正态分布 则 的线性函数 也服从正态分布: 证: 的分布函数为 若 则有 §4.4 正态随机变量的线性函数的分布 所以 当 时类似地可证. 定理1表明: 正态随机变量的线性函数仍然是正态随机变量. §4.4 正态随机变量的线性函数的分布 [推论] 设随机变量 服从正态分布, 则标准化的 随机变量 在定理1中, 设 即得结论. [定理2] 设随机变量 与 独立, 并且都服从正态分布: 则它们的和也服从正态分布, 且有 证: 已知 与 的概率密度分别是 §4.4 正态随机变量的线性函数的分布 则随机变量 的概率密度 其中 §4.4 正态随机变量的线性函数的分布 不难计算积分得 于是 由此可见, 服从正态分布 §4.4 正态随机变量的线性函数的分布 定理2表明: 独立正态随机变量的和仍是正态随机变量. 上一页 下一页 概率论与数理统计教程(第四版) 目录 结束 返回 正态分布是最常见因而也是最重要的分布: 1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述; 2. 在一定条件下, 某些概率分布可以利用正态分布 近似计算; 3. 在非常一般的充分条件下, 大量独立随机变量的 和近似地服从正态分布; 4. 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导 得到的. §4.1 正态分布的概率密度与分布函数 [定义] 若随机变量 的概率密度为 其中 及 都是常数, 则称随机变量 服从正态 分布 或高斯分布 . 记作: §4.1 正态分布的概率密度与分布函数 ? 正态分布的定义 当 时称 服从标准正态分布. 记为: 正态分布 的概率密度 的图形: 分布曲线的特征: 1.关于直线 对称; 2.在 处达到最大值; 3.在 处有拐点; 4. 时曲线以 轴为渐近线. §4.1 正态分布的概率密度与分布函数 ? 正态分布的概率密度
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