02-02-母函数.ppt

需要说明的是，随机过程是一系列随机变量的集合，在这里我们仅讨论随机变量的母函数方法，而随机过程的母函数可类比随机变量的情况进行推广。 母函数的存在性 证明：对GX(s)用幂级数展开，并逐项求导，可得 2、母函数的主要性质 1) 唯一性由概率分布及所确定的母函数是唯一确定的。反之，由母函数也能唯一确定随机变量的概率分布。 证明：设随机变量X的概率分布为{pk}，随机变量Y的概率分布为{qk}，它们的母函数分别为 母函数是研究整值随机变量的有效工具 研究非负整值随机变量的概率分布及其性质可以转化为对相应母函数的研究。母函数是幂级数，具有许多便于处理的性质，因此，母函数是研究整值随机变量的有效工具。 ★利用母函数求均值 上述级数至少在|s|1 是收敛的。当随机变量X 的数学期望存在时，即 ★利用母函数求方差 3、二维随机变量的母函数 定义 设(X1,X2)为二维非负整值随机变量，其概率分布列为 二维母函数主要性质 * 2.2.4 母函数 对于状态离散的随机过程的研究，有时利用 母函数方法更为简便，因此我们在此介绍母 函数方法。 1、整值随机变量与母函数的定义 定义: 若随机变量X 取非负整数值，其相应的分布列为： pk=P[X=k], k=0,1,,2 记实变数s 的实函数 则称GX(s)为随机变量X的母函数 事实上，如设s=eju，则 所以母函数本质上就是特征函数 对于任一数列{an}，也可以定义 为其母函数。 但目前只讨论概率分布的母函数。 根据全概率的概念有： 而母函数实际上是一个幂级数，由级数收敛性知道GX(s)至少在|s|≤1时一致收敛，而且绝对收敛。 因此母函数对任何非负整值随机变量都存在 ，并且在[-1,+1]上是一致连续的。 利用母函数求概率分布列 定理：设随机变量X 的母函数为 则X 的概率分布列为 在上式中令s=0，有 因此 且GX(s)=GY(s)，因GX(s)和GY(s)均为幂级数， 且当|s|≤1 时该幂级数均收敛，对GX(s)和 GY(s)求导k次，并令s=0，则得 因此得：pk=qk，k=0,1,2,…，即两个概率分布相同。由此可知，概率分布和母函数是一一对应的。 则其导数为 利用母函数可以求得相应的概率分布的数字特征 若非负整值随机变量X 的母函数为 存在时，显然有 母函数GX(s)对s求二阶导数，有 而 因此X的方差为： 证明见P67 则二维随机变量(X1,X2)母函数为 2) 若非负整值随机变量X1与X2是统计独立的 则对于一切|s1|≤1 及|s2|≤1，有 1) 设G1(s)、G2(s)分别为X1和X2的母函数，则有 *