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院士论坛 学数学目的不在定理和公式 中国科学院院士 李大潜 如果将数学教学仅仅看成是一般数学知识的传授（特别是那种照本宣科式的传授），那么即使包罗了再多的定理和公式，可能仍免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用；而掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。 许多在实际工作中成功地应用了数学，并取得相当突出成绩的数学系毕业生都有这样的体会：在工作中真正需要用到的具体数学分支学科，具体的数学定理、公式和结论，其实并不很多，学校里学过的一大堆数学知识很多都似乎没有派上什么用处，但所受的数学训练，所领会的数学思想和精神，却无时无刻不在发挥着积极的作用，成为取得成功的最重要的冈素。因此，如果仅仅将数学作为知识来学习，而忽略了数学思想对学生的熏陶以及学生数学素质的提高，就失去了开设数学课程的意义。 实际上，通过严格的数学训练，可以使学生具备一些特有的素质，这些素质包括： 1.通过数学的训练，可以使学生树立明确的数量观念， “胸中有数”，认真地注意事物的数量方面及其变化规律。 2.提高学生的逻辑思维能力，使他们思路清晰，条理分明，有条不紊地处理头绪纷繁的各项工作。 3.数学上的推导要求每一个正负号、每一个小数点都不能含糊敷衍，有助子培养学生认真细致、一丝不苟的作风。 4.数学上追求的是最有用（广泛）的结论、最低的条件（代价）以及最简明的证明，可以使学生形成精益求精的风格。 5.通过数学的训练，使学生知道数学概念、方法和理论的产生和发展的渊源和过程，了解和领会从实际需要出发、到建立数学模型、再到解决实际问题的全过程，提高他们运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和能力。 6.通过数学的训练，可以使学生增强拼搏精神和应变能力，能通过不断分析矛盾，从表面上一团乱麻的困难局面中理出头绪，最终解决问题。 7.可以调动学生的探索精神和创造力，使他们更加灵活和主动，在改善所学的数学结论、改过证明的思路和方法、发现不同的数学领域或结论之间的内在联系、拓展数学知识的应用范围以及解决现实问题等方面，逐步显露出自己的聪明才智。 8．使学生具有某种数学上的直觉和想象力，包括几何直观能力，能够根据所面对的问题的本质或特点，八九不离十地估计到可能的结论，为实际的需要提供借鉴。 数学教育本质上是一种素质教育，使学生不仅知道许多重要的数学概念、方法和结论，而且领会到数学的精神实质和思想方法，这应该是数学教育努力追求的目标，也是衡量数学教学的成效与优劣的最根本的依据。 传统的数学教学过程从一些基本的概念或定义出发，以简练的方式合乎逻辑地推演出所要求的结论，固然可以使学生在较短的时间内按部就班地学到尽可能多的内容，并体会到一种丝丝入扣、天衣无缝的美感；但是，过分强调这一点，就可能使学生误认为数学的完美无缺、无懈可击是与生俱来、天经地义的。其实，现在看来美不胜收的一些重要的数学理论和方法，在一开始往往是混乱粗糙、难以理解甚至不可思议的，经过许多乃至几代数学家的努力，有时甚至经过长期的激烈论争，才逐步去粗取精、去伪存真，最终才出现了现在为大家公认的系统的理论。因此教学教育要创造一种环境，使同学身临其境地介入数学的发现或创造过程，鼓励并推动学生解决一些理论或实际的问题。这些问题没有现成的答案，没有固定的方法，没有指定的参考书，没有规定的数学工具，甚至也没有成型的数学问题。主要靠学生独立思考、反复钻研并相互切磋，去形成相应的数学问题，进而分析问题的特点，寻求解决问题的方法，得到有关的结论，并判断结论的对错与优劣。总之，让学生亲口尝一尝梨子的滋味，亲身去体验一下数学的创造过程。否则，培养创新精神，仍不免是一句空话。 教学用的数学 Al Cuoco 齐民友 编译 chiminyou@ 数学界的许多人都在关注优秀中学数学教师的培养，这反映了对各级数学教育越来越大的兴趣。研究教育的人提出了许多文件证明了在美国和其它国家教师的数学程度有很大的差别。经过了上十年的思考和努力，出现了几套详细明确的建议以改进教师数学培养。在NCTM 的“中学数学的原则和标准”( Principle and Standards for School Mathematics )（以下简称原则和标准）中，列出了一些总的目标： 作为教师需要好几种不同的数学知识——关于整个领域的知 识；关于课程目标和这一段学历重要而处于中心地位的思想的 深刻而灵活的认识；关于如何有效地表述这些思想的知识以及如何估计学生对其理解程度的知识。 在美国教师就业前学的绝大多数课程都不包括这类知识。 教师们在大学学的数学课程需要改变吗？有些什么要变？本文中，我将集中于中学（主要是高中）教师的培养，因为未来中学教师的绝