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抢渡长江路线选择策略 黄薛环、郦琼、冯元刚 （2003年获全国一等奖） 摘要:本文就渡江参赛者在渡江中如何就游泳者流速小于水流速度时的实际问题中选择渡江路线问题进行讨论，本文讨论的是渡江中的路线选择问题，首先我们针对水流速度、游泳者速度及方向不变的特殊情况建立初等模型（模型一）。利用此模型解决了问题一与问题二。还采用微分法建立模型二对模型一进行检验。接着，我们在水流不均匀分布的情况下，首先，对其特殊情况（水流速度成阶梯分布函数）用模型二对其进行分段处理，用非线性规划求得最优解，介于这个讨论的方法，我们对水流速度与岸边距离为连续分布时，采用插入分点将其离散化，并求出了渡江时间最短的较优解。最后，我们对水流速度与岸边距离为连续分布时，建立了符合实际情况，游完全程最小时间的模型三，利用模型三，也可以解决问题一、二、三。 　关键词：初等模型、微分模型、非线性规划、变分法 问题的重述 大部分游泳运动员在抢渡长江时，由于路线选择错误，而未能到达终点，假定在竞渡区域两岸为平行直线，问： 1）若在竞渡中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89米/秒。试说明2002年第一名向前进的路线，求她游泳的速度和方向。试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩 2）在1）的假设下，若游泳者始终以和岸边垂直的方向游，是否能到达终点？用给出的模型说明为什么1934年和2002年能游到终点的人数百分比有如此差别；给也能成功到达终点的选手的条件。 3）若流速沿离岸边距离为不连续分布且给定；游泳者的速度仍全程不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。 4）若流速沿离岸边距离为连续分布且给定，如何处理这个问题。 最后，给有意参加竞争渡的游泳爱好者写一份竞渡策略短文，并说明此模型的其他应用。 模型的假设 1．游泳者的速度不受水温风向等因素的影响。 2．竞渡中，假设符号的说明 符号 单位 说明 m/s 水流的速度 m/s 人游泳的速度 p m 起点到终点的垂直距离 s m 起点到终点的水平距离 O 起点 A 终点 m/s 水流速度和游泳速度的合速度 度 人游泳的速度和x轴正方向的夹角 t 秒 游完全程所花的时间 模型一 以起点水平向右为x轴的正方向，起点作为坐标原点，起点垂直向上为y轴的正方向建立平面直角坐标系。 在问题1中假定了游泳者流速向量与水流向量都是常向量，由平行四边形法则知，合成的运动速度自然也就是唯一被确定为常向量，因此游泳者运动轨迹是一条直线，且路线只能为OA。 下面给出模型一： 下面我们就在这种情况下进行讨论。 对于第一题的问题1，已知a=1.89m/s,t=848s,p=1160m,s=1000m. 所以 由Mathematica软件算出b=1.54155　m/s，=117.47度 如图1所示的轨迹是2002第一名前进的轨迹，此时她的游泳速度是 1.54155m/s,方向是和x轴正方向成117.47度。 A 　　前进路线 　　　117.47度　 O　 图1 对于第一题的问题2，已知|a|=1.89m/s,|b|=1.5m/s,p=1160m,s=1000m。 所以 t= 由Mathematica软件算出 =121.87度 t= 910.46 秒 即当一个人的游泳速度为1.5m/s时，选择如图2所示的游泳方向，此时他的成 绩为910.46秒。 A O 图2 对于第二题的问题1，已知｜｜=1.89m/s，p=1160m,s=1000m，=90゜. 所以 ｜｜=2.1924 m/s 即此时游泳者的速度必须达到2.1924m/s的时候才能顺利到达终点。据调查，澳大利亚名将哈科特巴塞罗那锦标赛14分43秒14 对于1934年的比赛，图中将向量oc示为，将向量cd示为，由图3可知Rt△OCDRt△OAB，由相似三角形的性质 A D O 　　　　　C 　　　　　　　　　　　B 图3 求得 CD=0.43848 即此时游泳者只需达到0.43848m/s的速度就能保证其在水流速度为1.89m/s的情况下，沿OA方向达到终点A。 而2002年的比赛，由图4