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第十章 重积分——习题课 主要内容 例题 4、关键——选择适宜坐标系和累次积分顺序。 1）积分域的形状 直角坐标: 区域边界曲面是平面 柱坐标：区域边界曲面有圆柱面、抛物柱面 球坐标：区域边界曲面有球面、圆锥面 2）被积函数的形式 含 x2+y2 ——柱坐标 含 x2+y2 +z2——球坐标 5、利用对称性化简计算。 * * 1/19 一、主要内容 1、重积分的定义。 2、重积分的存在性。 3、重积分的性质。 4、在几种常用坐标系下（面积元素、体积元素）重积分的表示。 5、重积分计算的基本方法——化为累次积分（降维数）。 2/19 二重积分 1、直角坐标下 极坐标下（边界有圆、心形线） 2、二重积分计算的基本方法——化为累次积分 “先x后y”——区域为左右结构 “先y后x”——区域为上下结构 3、二重积分可用于计算面积和体积问题。 23/32 二重积分中的奇偶对称性： 当积分区域关于X轴对称时，考虑被积函数关于y的奇偶性，“奇0偶倍”。 当积分区域关于Y轴对称时，考虑被积函数关于x的奇偶性，“奇0偶倍”。 三重积分 1、直角坐标下 dV=dxdydz 柱坐标下 dV= ?d?d?dz 球坐标下 dV=r2sin ? drd?d? 2、三重积分计算的基本方法——化为累次积分 “先二后一”，或“先一后二”。 3、三重积分可用于计算体积问题。 23/32 柱坐标与直角坐标的关系: 球坐标与直角坐标的关系: 三重积分中的奇偶对称性： 当积分区域关于XOY面对称时，考虑被积函数关于z的奇偶性，“奇0偶倍”。 当积分区域关于YOZ面对称时，考虑被积函数关于x的奇偶性，“奇0偶倍”。 当积分区域关于XOZ面对称时，考虑被积函数关于y的奇偶性，“奇0偶倍”。 二、例题 例1 解 先 y后 x. 4/19 例2 解 先去掉绝对值符号. 5/19 例3 解 6/19 例4 解 7/19 8/19 例5 解 9/19 * * * *