ch6_ARC模型和GARCH模型.doc

ARCH模型和GARCH模型 2003年10月8日，随着瑞典皇家科学院宣布，诺贝尔经济学奖美国纽约大学的罗伯特.恩格尔 Robert Engle 和加州大学圣迭哥分校的克莱夫.格兰杰 Clive Granger 将共享1000万克朗 约130万美元 的奖金以表彰他们在“经济时间列”研究方面的卓越贡献。 Robert F. Engle Clive W. J. Granger 瑞典皇家科学院表示，发明究领域所作出突破性贡献。瑞典皇家科学院表示，罗伯特·恩格尔之所以得奖是因为他发明了一种计量方法，能够预测并分析随时间变化的股票价格、外汇汇率以及利率的动。1982年提出一种“自回归条件异方差模型”。克莱夫.格兰杰 yt yt-1+εt 其中εt为白噪声过程， 1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图1和图2。 图1 日元兑美元汇率序列JPY 1995-2000 图2 日元兑美元汇率差分序列（收益）D JPY 图3 收益绝对值序列 1995-2000 图4 D JPY 的平方 1995-2000 这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatility clustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。图5给出高峰厚尾分布示意图。 图5 高峰厚尾分布特征示意图 显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle 1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通过预测yt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以预测yt的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。 §1、ARCH模型 1、条件方差 多元线性回归模型： 条件方差或者波动率（Condition variance，volatility）定义为 其中是信息集。 2、ARCH模型的定义 Engle（1982）提出ARCH模型（autoregressive conditional heteroskedasticity，自回归条件异方差）。 ARCH q 模型： （1） 的无条件方差是常数，但是其条件分布为 （2） 其中是信息集。 方程（1）是均值方程（mean equation） ：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差 方程（2）是条件方差方程（conditional variance equation），由二项组成 常数 ARCH项：滞后的残差平方 由于εt2 的非负性，对 i应有如下约束， ω 0, i 0, i 1, 2, … q 当全部 i 0, i 1, 2, …, q时，条件方差 t2 ω。因为方差是非负的，所以要求ω 0。 思考题： 方程（2）给出了的条件方差，请计算的无条件方差。 3、ARCH模型的平稳性条件 为保证 t2是一个平稳过程， 2 式的特征方程 1- 1L- 2L2-…- qLq 0 的根都应在单位圆之外。 对 i, i 1, 2, …, q的另一个约束是 0 1+ 2+…+ q 1 对 2 式求期望， t2 ω+ 1 E εt -1 2 + 2 E εt -22 + … + q E εt - q2 ω+ 1 t -1 2 + 2 t -22 + … + q t - q2 当T 时， 2 ω+ 1 2 + 2 2 + … + q 2 则无条件方差 可见若保证 t2是一个平稳过程，应该有约束 0 1 + 2 + … + q 1。 因为Var yt Var εt t2，所以上式可以用来预测yt 的方差。 综上所述，ARCH模型的方差方程的的平稳性条件有 1 1- 1L- 2L2-…- qLq 0 的根都应在单位圆之外。 2 0 1+ 2+…+ q 0, i 0, i 1, 2, … q 例1 ARCH 1 模型中参数的含义： 当时， 当时，退化为传统情形， 4、ARCH效应检验 ARCH LM Test：拉格朗日乘数检验 建立辅助回归方程 此处是回归残差。 原假设： H0：序列不存在ARCH效应 即 H0： 可以证明：若H0为真，则 此处，m为辅助回归方程的样本个数。R2为辅助回归方程的确定系数。 Eviews操作：①先实施多元线性回归 ②view/residual/