复变函数与积分变换第五章.ppt

小结与思考 一概念-----留数 一定理-----留数定理（计算闭路复积分）（重点） 两方法-----展开式和规则求留数 三规则-----求极点处留数 （ 难点 ） 五、小结与思考 本节我们学习了留数的概念、计算以及留数 定理. 应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极 点处留数的求法, 并会应用留数定理计算闭路复 积分. § 5.2 留数在定积分中的应用 其中 注意: 对 的要求,分母Q(x)次数比分子P(x)至少高两次， 是函数 在上半平面内的有限个孤立奇点； 注意: 对 的要求,分母比分子至少高一次， 是函数 在上半平面内的有限个孤立奇点； 思想方法 : 封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化 把定积分化为一个复变函数沿某条 注意：其中 是函数 在单位圆内的有限个 孤立奇点。 形如 当 历经变程 时, 的 正方向绕行一周. z 沿单位圆周 z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 . 包围在单位圆周 内的诸孤立奇点. 例5.10 计算积分 分析 因 在实轴上有一级极点 应使封闭路 线不经过奇点, 所以可取图示路线: 解 封闭曲线C: 由柯西-古萨定理得: 由 当 充分小时, 总有 即 记住以下常用结果： * 1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则 §5.1 留数(Residue) C所围成的区域内含有f(z)的奇点z0 一、留数的引入 设C为区域D内 包含 的任一条正向简单闭曲线 ) ( f ò dz z c 未必为0， 0, z 所围成的区域内解析 在 ) ( C f ? í ì = . 的某去心邻域: D 内的Laurent展式: 在 0 (P49例3.3) 0 (柯西-古萨基本定理) 定义　设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 。 由留数定义,　 Res [f (z), z0]= c–1 　　　　(1) —— 综上， 的系数 - 0 1 ) ( - z z 展式中负幂项 Laurent 记作 为 f (z)在 的 。 定义 留数, 注 二、利用留数求积分 1. 留数定理 设函数 f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, ..., zn 外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则 D z1 z2 z3 zn C1 C2 C3 Cn C 证明 两边同时除以 得， 如图, 由复合闭路原理 求沿闭曲线C积分 求C内各孤立奇点处的留数. 注1 (1) 如果 为 的可去奇点, 一般规则说明： 2. 留数的计算规则 成Laurent级数求 (2) 如果 为 的本性奇点, 展开 则需将 (3) 如果 为 的极点, 则有如下计算方法： 1) 应用Laurent展式 2) 求n级极点的一般方法(求导运算) 1) 应用Laurent展式 例5.1 解 如果 为 的 级极点, 规则2 那末 如果 为 的一级极点, 那末 规则1 2) 求n级极点的一般方法 （当 m=1时就是规则1) 规则3 如果 设 及 在 都解析， 那末 为 的一级极点, 且有 解 例2 例3 解 思考题 思考题答案 例2 解 例3 解 例4 解 故　由留数定理得： 　(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数，不要死套规则。 如 是f (z)的三级极点。 ---该方法较规则2更简单！ 　(2) 由规则2 的推导过程知，在使用规则2 时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更 简单。 如 三、在无穷远点的留数 注意积分路线取顺时针方向 说明 记作 1.定义 设函数 在圆环域 内解析， C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， ò p - = C z z f i d ) ( 2 1 . . . . . . . 证 由留数定义有: (绕原点的并将 内部的正向简单闭曲线) 包含在 2.定理二 如果函数 在扩充复平面内只有有限个 孤立奇点, 那末 在所有各奇点 (包括 点) 的留数的总和必等于零. [证毕] 说明: 由定理得 (留数定理) 计算积分 计算无穷远点的留数. 优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数) 3.在无穷远点处留数的计算 规则