3微商及解析函.ppt

* Wuhan University §1.3 微商及解析函数 1.3 微商及解析函数 f ′( z) = lim lim0 Δ z = lim = lim = lim z 0 Δ f Δ z → Δ x Δ z → 0 Δ z Δ z → 0 Δ z → 0 Re Δ z Δ z Re( z + Δ z ) ? Re z Δ z 1.3 微商及解析函数 一、微商及微分： 而在复变函数中： Δf Δz →0 Δz e.g f (z) = Rez 注意：（2）可导必然连续，反之则未必； 如f ( z) = Re z = x在“复平面” 中处处连续，但却处处不可导。 （3）可导与连续不同，由实部与虚部在 某一点连续，可以断定复变函数连续， 但是由实部与虚部在某点可导，并不 能判断函数可导； e.g f (z) = Re z 1.3 微商及解析函数 一、微商及微分： Wuhan University 记 1.3 微商及解析函数 一、微商及微分： 2. 微分 dw = f ′( z ) dz [or df = f ′( z ) dz ] -微分 则 ) df dz dw dz (= f ′( z ) = -微商 w = f ( z ) 若 pn ( z) = a0 + a1 z + a2 z + L an z L L Wuhan University n 2 e.g → p ′n ( z) = a1 + 2a2 z + L + nan z n ?1 1.3 微商及解析函数 一、微商及微分： 3. 求导、微分法则： 实函中求导、微分法则在此 皆实用。 [ f1 ( z) ± f 2 ( z)]′ = f1′( z) ± f 2′( z) [ f1 ( z) ? f 2 ( z)]′ = f1′( z) ? f 2 ( z) + f1 ( z) ? f 2′( z) 1.3 微商及解析函数 一、微商及微分： 4. 可导的必要条件 注意: （1） C-R条件只是可导的必要条件，不是 充分条件 （2） C-R条件的极坐标形式为： 1.3 微商及解析函数 一、微商及微分： 1.3 微商及解析函数 一、微商及微分： 问：(1)可否用这四个公式来判断函数是否可导？ (2)可否用求导公式判断函数是否存在？ 1.3 微商及解析函数 一、微商及微分： 注： 由C-R条件可得： f (z) ∈ H(σ) 引入记号 －表示f (z)在区域σ内解析。 1.3 微商及解析函数 二、解析函数： 1. 定义： 若w = f(z) 在z0 点及 N(z0 , ε） 可导，则称 w = f(z)在z0点解析。 若w = f(z) 在区域σ内处处可导，则称 w = f(z)在区域σ内解析。 （ 注： 1）凡说解析都是指在某点或某区域解析 （2）函数在某点解析是比在某点可导严格得多的 条件，两者并不等价。 (3) f(z)在区域σ内解析和可导是完全等价的。 (4) f(z)的不解析之点称为奇点。 (5) 解析函数又称为正则函数或全纯函数。 1.3 微商及解析函数 e.g. f ( z) = z , 在z = 0点可导却不解析。 二、解析函数： 证明： f ( z) = e (cos y + i sin y)在复平面 2.必要条件：由解析定义和可导必要条件可得：… 3.充分条件：由解析定义和可导充分条件可得：… 1.3 微商及解析函数 二、解析函数： x 解析，且f ′( z) = f ( z). 例 若 f(z) = u + iv ∈ H (σ ) 1.3 微商及解析函数 二、解析函数： 4.解析函数的部分性质 = 0 , Δv = 0 则 （1） Δu 且由C-R连系着 （2） ?u ? ?v = 0 （3） 已知u 或v 均可求出解析函数 （4） 解析函数的和、差、积、商仍为解析函数 dy = dx ? dy ?v ?x dx ? ?v ?y dy = ?u ?y dx + ?u ?x du = u = ∫ d ( x ? y) + c = x ? y + c 例 已知 v( x, y) = x + y, 求解析函数 f ( z) = u + iv （1）用全微分法 （2）用积分微分求 1.3 微商及解析函数 二、解析函数：