立足课本回归，培养数学思维.docVIP

立足课本回归，培养数学思维 新课标明确指出：数学教育的基本目标之一是提高学生的数学思维能力.然而，在实际高三一轮复习教学的过程中，回归课本将原题原做，炒冷饭的现象却比较常见，加之各种高密度、高强度的解题训练.使得学生只是机械地模仿解题，反而阻碍了学生思维能力的培养，加大了学生的疲劳学习，削弱了学生的学习兴趣.事实上，我们只要在课本原题的基础上进行追加、追问，将思维背景进行拓展，将问题进行再延伸，就能有效培养学生思维的深度和广度，激活学生的思维，帮助学生构建各章节内部及章节之间的网络结构，形成知识板块，促进学生数学思维能力的提高和发展. 图1例如：普通高中课程标准实验教科书P124页第10题：如图1，将矩形纸片的右下角折起，使得该角顶点落在矩形的左边上，那么折痕长度l取决于角θ的大小.探求l，θ之间的关系式，并导出用θ表示l的函数表达式. 解 如图1，∠ECB ∠ECD π2-θ，∠DCA π-（π2-θ）-（π2-θ） 2θ. 因为0 2θ π2，且0 θ π2，所以π4 θ π2. Rt△CBE中，BC CD lsinθ，Rt△DAC中，AC DCcos2θ lsinθcos2θ.因为AB CA+CB 6，所以lsinθcos2θ+lsinθ 6.l 6sinθ（1+cos2θ） 3sinθcos2θ 3sinθ（1-sin2θ）（π4 θ π2）. 本题放在三角函数习题部分，基于高一，就当时的目的而言：（1）让学生学会选用角作为变量建立函数.（2）让学生熟练掌握三角公式，进行化简.而对于高三经过一轮复习的学生而言，本题就不应到建立函数，化简三角函数为止了，也不应再局限在三角函数章节了.我们可以进一步追问所建函数的性质等.如本题就可进一步追问：当θ为何值时，l的值最小，最小值为多少？ 解 令u sinθ（1-sin2θ），t sinθ，则t∈（0，22）. 因为u t（1-t2），t∈（0，22），所以u∈[239，24）. 因为l 1uu∈[239，24]，所以l∈（22，332]. 当sinθ 33时，l的值最小，最小值为332. 这样通过追加追问折痕的最值问题，在三角函数部分就解决不了了，自然引发了学生的思维过渡、换元转化为三次函数的思想方法，进而促使学生联系求导步骤、反比例函数的图象等基本方法、基本技能去求解最值问题.将知识贯穿联通，提高效率事半功倍.如此，回归课本决不是原题原做，炒冷饭，而是让学生活用思想方法，转化问题，解决问题.构建各知识之间的联系，融会贯通.当然，为了求得最小值，我们也不应该将本题再局限在三角函数部分了，还可以让学生将思维背景进行拓展.例如本题就还可以从解析几何为思维背景出发. 图2解 如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立直角坐标系，设C（a，0）（00），E（6，m）（m 0），所以CE：y m6-a（x-a）. 又B，D关于直线CE对称 m6-a?-b6 -1， b2 m6-a（3-a） m2 3（6-a）23-a. l2 （6-a）2+m2 （6-a）2+3（6-a）23-a. 令t 3-a，t∈（-3，0），l2 （t-3）2+3（t-3）2t t2+9t+27t+27， t∈（-3，0）. 这样，通过思维背景的拓展，催生了学生的灵活思维，开拓了学生的思维角度.使学生自然地将各章节融会贯通，形成完整的知识体系.当然，将思维背景拓展到解析几何，我们就又可以进一步延伸到圆锥曲线. 图3解 如图3，以直线AB为y轴，以AB的中垂线为x轴，建立直角坐标系，过D作DM∥AB交CE于点M，连结BE，由题意可得DM MB，DM⊥AD，由抛物线的定义可知：M点的轨迹是以AD为准线，B为焦点的抛物线弧.折痕与抛物线相切.M点的轨迹方程为x2 -12y，l是以M（m，n）为切点的抛物线y -112x2的切线，切线的斜率为k -16m，所以CE：y-n -a6（x-m）.令y -3，得x m+6（n+3）m，所以E（m+6（n+3）m，-3）.令x 0，得y 16m2+n，C（0，16m2+n）.l2 CE2 [m+6（n+3）m]2+（16m2+n+3）2.又有m2 -12n，l2 36-3（n+3）2m+（m-3）2 n2+9n+27n+27， n∈（-3，0）. 上述例题是在高三学生回归课本时的处理，这个阶段恰是高三一轮复习刚结束，学生对各知识段已经基本掌握，但是还没有形成完整的知识体系，各知识之间、各章节之间的关系还没有得到很好的联系和融合.此时的学生迫切需要将高中知识融为一体，构建各章节内部及章节之间的网络结构，形成完整的知识体系.此时，将课本原题进行追问、拓展、延伸，恰到好处地成为载体，有效地达成培养数学思维的目标. 心理学研究表明：数学教学要适应学生的认知发展水平， 数学素质与