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双生素数个数的近似函数S n ~ 李联忠 （营山中学 四川营山 637700） 摘 要：引理1： 2 引理2： 等差数列的素数定理 pi,ai 1时，末项不大于N的等差数列ai+npi中，当N→∞时，其素数个数π pi ～。 是欧拉函数。 pi-1。 引理3: 当N→∞时,用N来表示在不大于N的所有正整数中去掉模p（p为不大于a的素数，）的一个同余类后，余下数个数，只需要乘以一个系数λ（）；而用来表示则所乘的系数始终是1. 从而证明 类似于素数定理的相差2a的双生素数个数S N ~ 关键词：数论；孪生素数个数 中国分类号：015 文献标识码： 文章编号： 引理1： 2 证明：因为Euler（欧拉）曾经推导出了以下结果： 即有 所以 。 Euler 还证明了以下结果： ， 其中 称为 Euler 常数。 所以 。 ∴ 2 引理2： 等差数列的素数定理 pi,ai 1时，末项不大于N的等差数列ai+npi中，当N→∞时，其素数个数π pi ～。 是欧拉函数。 pi-1。 引理3: 当N→∞时,用N来表示在不大于N的所有正整数中去掉模p（p为不大于a的素数，）的一个同余类后，余下数个数，只需要乘以一个系数λ（）；而用来表示则所乘的系数始终是1. 证明： 由素数定理可得 根据引理1 2 ∴ 即 1 如果引理1中的条件换成.则可得 1 这时则有 即 2 而（1），（2）即是说，当N→∞时,用N来表示在不大于N的所有正整数中去掉模p（p为不大于a的素数，）的一个同余类后，余下数个数，只需要乘以一个系数λ（）；而用来表示则所乘的系数始终是1. 引理3得证。 定理：相差2a的双生素数个数S n ~ 证明：?数组 1,1+2a , 2,2+2a , …, m,m+2a ,…, n,n+2a 1≤m≤n ?若p|m 或p| m+2a 则数组（m,m+2a）不是孪生素数组 ?（p≤ ∵p| m+2a 即 m≡p-2a p modp 2a p 表示2a除以p的余数 ? ∴去掉模p余0和（p-2a p ）的两个同余类 而素数个数是去掉模p余0的一个同余类，双生素数去两个同余类可以看着先去模p余0的一个同余类，得不大于n的连续素数共π n 个，再去模p余（p-2a p ）的一个同余类，由引理2有 在π N 个素数中再去掉（≥3）的一个非0 同余类后，余下素数个数约为 π n 而 π n ≥π n ＞π n 对π n 个连续素数编上序号，则得到π n 个连续正整数 1 2 3 … π n . π n 就是在这π n 个连续正整数中去掉 的一个同余类。而2a p 0时，只去模p余0的一个同余类，这时需乘以，由引理3可得 相差2a的双生素数个数S N ~ 定理得证。 根据定理的证明，可得 推论1：S N ~ 推论2：S N ≥ （λ ） 4