第二节一阶线性微分方程要素.ppt

微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、齐次微分方程 三、一阶线性微分方程 * * 上一页 下一页 返回 第二节 一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为 一、可分离变量的微分方程 形如 (1) 的方程称为可分离变量的微分方程，其中f(x)和g(y)都是连续函数． 例: 这叫做分离变量。 就是原方程的通解． 上式两边积分，得到 微分方程的解可以用隐函数的形式表示 若存在y0，使g(y0)=0， 　　一般而言，这种解会在分离变量时丢失，且可能不含于通解中。 　　应注意补上这些可能丢失的解． 这时常数函数y=y0也是方程(1)的解． 例1 解 当y≠0时，方程可改写为 两边积分， 所以原方程的通解为 （c为任意常数） 此外，y=0也是该方程的解． 注：解y=0没有包含在通解中。 得到 例2 解 当y≠0时，方程可改写为 两边积分， 或 得到 此外y=0也是方程的解． 其中c为任意常数. (2) 若允许c=0 ，则此解也含于上式中． 所以方程的通解为 例3 解 两边积分 由初值条件得 所以方程满足所给初值条件的特解为: 得方程的通解为 例４ 解 得方程的通解为 得 所以方程的通解为: 求解Logistic方程 两边积分 二、齐次微分方程 形如 (3) 的微分方程称为齐次微分方程． 例如: 代入 分离变量 两边积分，得 求解方法： 便得通解。 例5 解 原方程可以改写成 原方程变为 当u≠0时分离变量得 得 即 两边积分 当u＝0时，y=0也是方程的解。 (4) 两边积分，得 代回原变量得原方程的通解为 此外u=0时，y=0(x≠0)也原方程的解. 例5 解 三、一阶线性微分方程 形如 的方程称为一阶线性微分方程， 称它为一阶齐次线性微分方程，否则，称它为一阶非齐次线性微分方程． (5)的求解法：常数变易法 (5) (6) 称它为非齐次微分方程(5)对应的齐次线性微分方程． 例2已求得方程(6)的通解为 (7) 显然，如果（7）中的c恒保持为常数，则它一定不是（6）的解。 (8) 的通解，它的导数为 为此，我们将c换成x的未知函数c (x)，设想方程（5）有形如 (9) 将(8),(9)代入方程（5） 得 (8) 得 两边积分，得 将它代回到(8)式 (10) 得 即得方程(5)的通解为 上述这种将对应的齐次线性微分方程通解中的任意常数c换成未知函数c (x)求非齐次线性微分方程通解的方法，称为常数变易法． 例6 解 两边积分 对应的齐次线性微分方程为 分离变量 得齐次线性微分方程的通解为 设非齐次线性微分方程的通解为 例6 设非齐次线性微分方程的通解为 代入原非齐次线性微分方程