四、正弦定理和余弦定理专题——学生版概览.doc

复习专题:正弦定理和余弦定理 一、知识回顾 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C． 1．角与角关系：A+B+C π， 2．边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b， a－b c，b－c a，c－a b． 3．边与角关系： 1）正弦定理 .；（R为外接圆半径） 变式1：a ，b ，c 2）余弦定理 c2 ，b2 ，a2 ． 变式1：cosA ； .； . 4. 三角形面积公式： .； 5、关于三角形内角的常用三角恒等式：三角形内角定理的变形 ①由A＋B＋C＝π，知A＝π－（B＋C）可得出： sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）． ②而．有：，． 二 问题探究 探究一 正弦定理的应用 考点分析：①知两角及一边、解三角形. ②知两边及一边对角、解三角形. 方法点拨：针对考法②涉及到三角形解的判定、一般有三种情况：无解、一解、两解；判定方法：方法1【代数法】：大边对大角、内角和为、三角函数值不能大于1； 方法2【几何法】：当为锐角时、①或时、一解；②时、两解；③时、无解.当为直角或钝角时、①时、一解；②时、无解. 例如1：在中、求其余的边和角. 例如2： 在△ABC中，已知a ,b ,B 45°,求A、C和c. 变式训练1： 2009·广东高考 已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝ A．2 B．4＋2C．4－2 D.－ 变式训练2：在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．中，,则的大小为（ ） A． B． C． D． （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则A＝ . 变式训练：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc 0. （1）求角A的大小；（2）若a ，求bc的最大值； 探究三 正、余弦定理的综合应用ABC中, ，则这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 考点二 三角形面积（注重方程组思想） 例如5： 2009·浙江高考 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3. 求△ABC的面积； 2 若c＝1，求a的值．.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积等于 A. B. C.或 D.或锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是 A． 1,2 B． 1， C． ，2 D． ， 2 在△ABC中，，则边的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 变式训练8： 在△ABC中, ,若三角形有两解，则边的范围是（ ） 若三角形有一解，则边的范围是（ ） A． B． C． D． 变式训练9： 在△ABC中， ①则角A的取值范围是 （ ） ；② 四 思维训练与能力提高 1.（2010上海）18.若△的三个内角满足，则△ （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形. （C）一定是钝角三角形. D 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 2.（2010湖南）6、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C 120°，,则 A、a b B、a b C、a b D、a与b的大小关系不能确定 3．（2010广东理）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a 1,b , A+C 2B,则sinC . 4 、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2 I 求角A的大小； II 若a ，b+c 3，求b和c的值 5． 在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且 -. （1）求角B的大小； （2）若b ，a+c 4，求△ABC的面积. 6、在中，内角对边的边长分别是，已知，． 若的面积等于，求； 若，求的面积． 　正弦定理和余弦定理专项练习 1． 2010·湖北 在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝ A．－ B. C．－ D. 2． 2010·天津 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝ A．30° B．60°C．120° D．150° 3． 2010·江西 E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝ A. B. C. D. 4． 2011·青岛模拟 △ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg且B∈，则△ABC的形状是 A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．△ABC中