小波变换课件 4章 小波变换的实现技术.doc

第4章 小波变换的实现技术 4.1 Mallat算法 双正交小波变换的Mallat算法：设、、、为实系数双正交小波滤波器。，是小波分析滤波器，，是小波综合滤波器。表示的逆序，即。若输入信号为，它的低频部分和高频部分以此为和，小波分解与重构的卷积算法： 先进行输入信号和分析滤波器的巻积，再隔点采样，以形成低频和高频信号。对于有限的数据量，经过多次小波变化后数据量大减，因此需对输入数据进行处理。 4.1.1 边界延拓方法 下面给出几种经验方法。 1. 补零延拓 是假定边界以外的信号全部为零，这种延拓方式的缺点是，如果输入信号在边界点的值与零相差很大，则零延拓意味着在边界处加入了高频成分，造成很大误差。实际应用中很少采用。 2.简单周期延拓 将信号看作一个周期信号,即。简单周期延拓后的信号变为 这种延拓方式的不足之处在于，当信号两端边界值相差很大时，延拓后的信号将存在周期性的突变，也就是说简单周期延拓可在边界引入大量高频成分，从而产生较大误差。 3. 周期对称延拓 这种方法是将原信号在边界上作对称折叠，一般分二 1）当与之做卷积的滤波器为奇数时，周期延拓信号为 2）当与之做卷积的滤波器为偶数时，周期延拓信号为 4. 光滑常数延拓 在原信号两端添加与端点数据相同的常数。 5. 平滑延拓 在原信号两端用线性外插法补充采样值，即沿着信号两端包络线的一阶导数方向增加采样值。 实际应用时，在变换前对输入信号进行边界进行延拓，使之变成无限长的信号，变换后，、 在尽可能不丢失信息的情况下，适当截取部分变换系数作为低频信号和高频信号，以保证小波分解后的数据总量保持不变。见下图。 为实现完全重构，先对有限长序列进行延拓，然后再插值和滤波，对滤波后的信号相加，再 适当截取，以恢复原信号。见下图。 …………………………………………………………………………………………………… 4.1.3 用小波处理函数／信号的基本步骤 1. 初始化 对于时间的连续信号，选择适当的，使得大于信号的抽样频率 不同 的应用决定了不同的抽样率 。 设信号在最高初始分辨率级下的光滑逼近为＝，则有 由式（3－22）, 既可得 在实际应用中，由原信号确定的的范围是有限的，譬如信号的持续时间为，则的范围为。 2. 小波分解 应用Mallat 算法，得到离散信号的小波变换，相应地，得到的分 辨率表示： 其中，，，， 。具体地 ,, 实际应用中，可以根据需要控制分解的级数，不一定达到级。 3. 小波系数处理 针对不同的应用目标，对小波系数进行处理获得新的小波系数。譬如，在进行信号的数据压缩时，将绝对值小于某一阈值的系数置为零，保留剩余的系数，用于重构信号；而在去噪时，将绝对值小于某一阈值的系数置为零，用于重构去噪信号。 4. 小波重构 对处理后的小波系数，重构出分辨率时的离散信号。一般地，是的逼近信号。进而可以得到或的重构信号。 对于离散信号的小波处理过程为 ，设（）是一个离散输入信号，采样间隔为，其中。可将与联系起来（是正交尺度函数），使为的均匀采样，即＝。根据式（3－22）可得。由此可获得在最高分辨率下的初始系数序列。然后，利用Mallat算法对该序列进行小波分解、对小波系数处理以及处理后的系数进行小波重构等。 4.1.4 应用举例 ［例4.1］对单位区间上一个连续信号，将信号离散化为个采样值，相应的逼近信号记为 。用Haar小波对信号进行3级小波分解，写出信号的多分辨表示，并画出该信 号在不同分辨率下的逼近信号、和的图形。 假设信号为，它在中的投影记为，则的图 形见图4－2a。用Haar小波对信号进行3级小波分解，其多分辨表示为 其中、、波形如图4－2b、c、d所示。 图4-2 一个函数的多分辨逼近函数 [例4.2] 对于例4-2中的信号及逼近信号。若用正交尺度函数和正交小波函数进行小波分 析解，则可得到： 其中，，， 1）用Haar尺度函数和Haar小波函数分解信号，令绝对值最小的80%和90%的系数为0，对信号进行小波压缩。画出相应的重构信号波形，并求出相应的相对误差。 2）用Daubechice尺度函数和Daubechice小波 如db2 分解信号，令绝对值最小的80%和90%的系数为0，对信号进行小波压缩。画出相应的重构信号波形，并求出相应的相对差。 3）比较1）和2）的压缩效果。 4）用FFT在相同条件下压缩信号，所得的相对误差如何。 求解过程如下： 用Haar小波函数分解信号，令绝对值最小的80%和90%的系数为0，得到重构信号图形如图4-3a所示。所得的均方差为0.7991；相对误差为0.0050。 如果令绝对值最小的90%的系数为0，得到重构信号图形如图4-3b所示。 在这种情况下，得到均方误差为2.9559，相对误差为0.0185。 图4-3 用Haar小波压缩后