路匝道坐标的复化普森公式及用FX.doc

路匝道坐标的复化辛普森公式及用FX-4500P计算器编程算坐标摘要：本文利用复化辛普森公式导证的计算公路匝道坐标的通用公式。利用FX-4500P计算器编程计算放样点位坐标。 关键词：复化辛普森公式 公路匝道 编程坐标计算 一、 引言 　　匝道是组成高等及公路立交的基本单元，其形式千变万化，就线形而言，也是由直线段、回旋曲线段、圆曲线段组成。但是，组成立交的匝道涉及线形的曲率变化特点，利用复化辛普森公式导证了计算公路匝道点位坐标的通用公式。并利用卡西欧FX-4500P计算器编程计算公路匝道点位坐标。 　　二、公路匝道点位坐标计算 　　1. 公路匝道中线形式 　　公路匝道中线是由直线—回旋曲线—圆曲线（R1）—回旋曲线—圆曲线（R2）—回旋曲线—直线的顺序组成的，其中R11R2。 　　2. 回旋曲线上点位坐标方位角的计算 　　如图1，设回旋曲线起点A的曲率为rA，其里程为DKA；回旋曲线终点B的曲率为，其里程为DKB，Ax￠y￠为以A为坐标原点，以A点切线为x￠轴的局部坐标系；AXY为线路坐标系。 　　由此回旋曲线上各点曲率半径为Ri和该点离曲线起点的距离?i成反比，故此任意点的曲率为 　　 （=R0为常数）（1） 　　由式（1）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DKi点的曲率为 　　 （2） 　　当曲线右偏时，取正；当曲线左偏时取负。在图1中有 　　 　　 （3） 　　将式（2）代入式（3）得 　　 （4） 　　若已知回旋曲线起点A在线路坐标系下切线坐标方位角αA，则里程为Dki点切线坐标方位角为 　　 （5） 　　将式(4)代入式(5)得 　　 （6） 　　对于式(6)，当，时，，则ai=aA，式 (6)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当，时，， ，则式(6)代表圆曲线上任意点切线坐标方位角计算公式。 　　可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式(6)便能计算任意线型点位切线坐标方位角。 　　3、回旋曲线点位坐标计算 　　由图1可得回旋曲线上点位在坐标系下坐标计算公式： 　　 （7） 　　 （8） 　　设回旋曲线起点A在线路坐标系下的坐标为将式(6)替代式(8)中的，便得回旋曲线上任意点在线路坐标系下的坐标： 　　 　　 （9） 　　对于式(9)的解算，由于后半部分是定积分，我们引入复化辛普森公式对其进行解算。 　　首先将积分区间[DKA，DKi]划分为n等份，步长为H=（DKi-DKA）/n，分点里程DXK=DKA+KH，K=0，1，2，×××，n，记子区间[DXK，DXK+1]的里程为DXK+1/2，则DXK+1/2=（DXK+DXK+1）/2，K=0，1，2，×××，n-1。 　　由此式(9)用复化辛普森公式表示为 　　 n-1 n-1 　　 X=XA+H/6′（cosaA+4∑cosaK+1/2 +2∑cosaK +cosai） 　　　K=0 k=1 　　 n-1 n-1 　　 Y=YA+H/6′（sinaA+4∑sinaK+1/2 +2∑sinaK +sinai） （10） 　　 K=0 k=1 　　式中：aA为回旋曲线起点A的切线方位角；aK+1/2为里程DXK+1/2点切线方位角；aK为里程DXK点切线方位角；ai为里程DKi点切方位角。 　　对于式(10)，虽然是由回旋曲线导出的，但该式也适用直线段和圆曲线段。  　　三、复化辛普森公式的使用说明 　　为满足点位坐标计算精度，经验算取n=2。无论是直线段、圆曲线段、回旋曲线段，只要将各曲线段中的起点、终点的曲率和里程以及解求点里程Dki和各分点里程代入式(2)、(6)、(10)便可获得待求点Dki的坐标。在计算时，要注意曲线的偏向。 　　四、公路匝道坐标计算源程序 　　L1 Lbl0：T“X1”U“Y1”C“AT”D“PA”E“PB”A“CH0”B“CHN”G“X0”I“Y0”：M：Lbl1：N=0：P=0：O=0：Q=0：S=0：{J}：J“CHI” 　　L2 Lbl2：N=N+1：H=2（J-A）/M：F=NH/2+A：R=C+180/p′（D+（E-D）/2（B-A）′（F-A））（F-A）：Int（N/2）=N/2=O=O+cosR：P=P+sinR：1Q=Q+ cosR：S=S+ sinRD 　　L3 N=M=Goto3：1Goto2DLbl3：X=G+H/6′（cosC+4Q+2O-cosR：Y=I+H/6′（sinC+4S+2P-sinR）：X：“X=”ù