2010研究生模D题解题思路与模型.doc

2010年全国研究生数学建模竞赛D 题 解题基本思路及其数学模型 D 题命题者 2010.11.5 于广州 一．本题背景 本题是从一个科研项目中提炼而成，该项目是一个工程项目，为加工我国独立自主研制的新型地空导弹的天线罩，需要研制一台大型精密内外圆数控磨床，由某航天科研院与善长于磨床研究生产的上海机床厂合作研制。这项工程包括研制一台能磨削天线罩这样工件的磨床，并调试机床数字控制系统。该工程的研制成功，不仅解决了当时国内加工导弹天线罩这类特殊工件采用靠模式机床无法保证精度的问题，也提供了加工大型旋转体工件的设备（这是该工程的一个副产品），同时为当时国产机床的计算机控制积累了经验。 数控机床加工曲线的常规方法是插补，这对于车床、铣床等都是可以实现的，但对磨床来说，由于切削工具是砂轮，直接套用插补技术有不可逾越的障碍，那就是砂轮外形对曲线的“干涉”！所以，曲线磨床无法直接采用插补技术。为此，该机床的总体设计放弃两个相互垂直的工作台插补实现曲线加工的传统结构方式，有创意地加入第三个工作台，这个工作台就是本题中的上工作台，它在前两个工作台运动的基础上（即跟随下台和中台提供的向运动），再做旋转运动，构成有3个自由度的复合运动。这样就可以与砂轮的外形配合，加工出（理论上）复杂曲线来。 该机床的控制系统也有不少值得称道的国内首创的技术突破。应该说，这是可以编入机械专业教科书的精彩内容（不知道现有的机床教课书有没有编进？）。 有了机床，就要编制出计算机控制程序，其前提是如何根据要加工的曲线（实际上是旋转体的母线）方程，确定三个工作台相互配合的运动。 这是适合于研究生数学建模竞赛的适当素材，本题就是围绕对这一素材，去除许多工程处理的细节，集中于数学建模及其求解提炼出来的。 二．D 题命题的指导思想 研究生数学建模竞赛是国内研究生中较为优秀的一部分学生的竞赛，在朱道元先生为代表的一批有识之士长期坚持和努力下，已经成为国内有重要影响的数学奥林匹克。既然是竞赛，就要比出高低和好坏。但本命题人认为，各地和各校拿几个奖，不应是我们这项赛事的主要目标（虽然已经出现了有的学校以此为教学水平甚至领导政绩的标志的现象），我们的根本目标应是坚忍不拔地引导和影响国内高等数学教育走上正确健康之路，使一批研究生的数学素养又实质性的提高，数学和理性思维有一个上台阶的提升，数学和科学视野能进一步扩大，打下能灵活应用学到的数学理论和方法，解决较高难度问题的基础。而我们这里所说的“引导和影响”主要通过竞赛的试题的形式和内容来体现。 基于此，D 题命题的指导思想是： 1．考核高等数学最基本的观念和最常用的方法。就D 题而言，涉及到建立坐标系，向量运算，坐标变换，导数（曲线的切线），曲率，线性空间的基，动态系统的运动分析等等属于最基本的概念。希望研究生们通过本题，认识到最前沿的科学研究，更复杂的工程技术，大部分都将分解或转化为若干最基本、最基础的问题，所以，打好基本功，走遍天下都不怕。 本题不追求必威体育精装版最深的数学。考核学生不在表面的新鲜与好看。 2．考核学生在解决复杂问题的过程中，能灵活地根据研究的进展，不断提炼或提出子问题的能力，或深化问题研究的能力。本题的目标是研究三个工作台相互配合的运动，这是工程层面的问题，如何把它转化为一个平面运动的点的运动方程和轨迹方程，是第一层深化；如何运用坐标变换，实现逼近是第二层深化；为保证机床各个工作台运动平稳，则是第三层深化，等等。在每次深化中，都可以提炼出相应的数学问题及其模型。对于本题，可以提出基于线性代数的坐标变换模型，进而微分方程模型，甚至最优控制模型，而且各问题环环相扣，层层深化，数学的含量也逐步提高，提到什么样的问题取决于你研究的角度和深度，也取决于你的数学功底的深浅。 3．考核学生阅读能力和理解实际问题情景的能力。D 题的前面2/3的篇幅是介绍加工任务的由来，机床特点，砂轮等文字与图的内容，希望学生能在头脑里显示机床的空间概念，理清众多数据之间的联系和区别，为建模做好准备。如果连起码的空间想象能力都缺乏，那么后面的工作就很难展开。如果面对一堆数据，弄不清联系与区别，你不知道先用哪个后调哪个，模型又怎么建立？这常是影响学生解决实际问题的第一道障碍。这种能力的缺损是很多国内学生的通病，属于综合素养的问题，而不单单是数学素养的问题。 4．考核学生从读题中抓住其中关键的信息的能力。建立三个工作台的运动与被加工曲线之间的定量关系是求解本题的核心，而这样理解这个定量关系的基础是能否数学描述三个工作台构成的复合