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22收敛数列的性质ppt
一、惟一性 * * §2收敛数列的性质 定理 2.2 若 收敛, 则它只有一个极限. 证 设 下面证明对于任何 定数 若 a,b 都是 an 的极限,则对于任何正数 ? 0, 当 n N 时 1 , 2 同时成立, 从而有 二、有界性 即存在 证 对于正数 若令 则对一切 正整数 n , 都有 定理 2.3 若数列 件. 注 数列 是有界的, 但却不收敛. 这就说 明有界只是数列收敛的必要条件,而不是充分条 注 证有界时一定要取定 推论 无界数列必定发散. 三、保号性 证 设 注 应用保号性时,经常取 定理 2.4 则对 当 四、保不等式性 定理 2.5 均为收敛数列, 如果存在正 证 所以 是严格不等式. 注 若将定理 2.5 中的条件 改为 这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定 也只能得到 例如 , 虽然 例1 证 根据极限的保不等式性, 有 对于任意 于 是可得: 五、迫敛性 夹逼原理 定理 2.6 设数列 都以 a 为极限, 证 对任意正数 所以分 这就证得 满足: 存在 则 例2 求数列 的极限. 所以由迫敛性,求得 又因 解 有 本定理给出了判别数列收敛的方法;又提供了一个 计算数列极限的方法。 利用迫敛性求极限关键是构造出 、 六、四则运算法则 定理2.7 则 1 2 当 为常数 c 时, 3 也都是收敛数列, 且有 所以 的任意性, 得到 证明 2 对于任意 证明 1 的任意性, 证得 证明 3 由 2 , 只要证明 据保号性, 于是 又因为 即 七、 绝对值收敛性: 注意反之不成立 . 推论 设数列 收敛, 则 八、一些例子 例3 用四则运算法则计算 1 当 m k 时, 有 分别得出: 解 2 当 m k 时, 有 所以 分子分母最高次数相同,极限为最高系数之比; 分子最高次数低于分母最高次数时,极限为0. 例4 解 由迫敛性得 例5 证 根据极限的保号性, 存在 N, 当 n N 时, 有 又因为 所以由极限的迫 敛性, 证得
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