252矩形的判定ppt.ppt

* * * 本节内容 2.5 矩 形 ——2.5.2 矩形的判定 动脑筋 矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？ 如图2-46，四边形ABCD 的四个角都是直角. 由于“同旁内角互补， 两直线平行”，因此AB∥DC， AD∥BC，从而四边形ABCD 是平行四边形. 所以□ABCD 是矩形. 由此得到四个角是直角的四边形是矩形. 图2-46 结论 三个角是直角的四边形是矩形. 三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也 是直角，由此得到： 四边形中只有两个角 是直角，我想到了下边的图形： 动脑筋 从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？ 过点O 画两条线段AC，BD，使得OA OC 2cm，OB OD 2cm. 连接AB， BC，CD，DA. 则四边形ABCD 是矩形， 且它的对角线长度为4 cm，如图2-47. 这样的矩形有无穷多个. 2cm 2cm 图2-47 你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？ 如图2-47，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 我们来进行证明. 在□ABCD中，由于AB DC，AC DB，BC CB， 因此 △ABC≌△DCB. SSS 从而 ∠ABC ∠DCB. 又∠ABC+∠DCB 180°， 于是 ∠ABC 90°. 所以 □ABCD是矩形. 图2-47 结论 对角线相等的平行四边形是矩形. 由此得到矩形的判定定理： 对角线相等的四边形是矩形吗？ 议一议 议一议 议一议 议一议 议一议 议一议 如图2-48，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O. （1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样 的三角形？ （2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB OC，那么 □ABCD是矩形吗？ 例2 图2-48 举 例 （2） ∵ △OBC是等腰三角形，其中OB OC， 解 （1） ∵□ABCD是矩形， ∴ AC与DB相等且互相平分. ∴ △OBC是等腰三角形. ∴ ∴ AC 2OC 2OB BD. ∴ □ABCD是矩形. 图2-48 1. 如图，在四边形ABCD中，∠A ∠B ∠C ∠D， 求证：四边形ABCD是矩形. 练习 证明：因为四边形中，∠A ∠B ∠C ∠D ， 四边形的内角和为360°， 所以∠A ∠B ∠C ∠D 90° ， 所以四边形ABCD是矩形. 三个角是直角的四边形是矩形. 2. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠AOB 60°，AB 2，AC 4，求□ABCD的面积. 解： ∵ OA 2，AB 2， ∴ △OAB是等腰三角形. ∴ △OAB是等边三角形. 又∠AOB 60°， ∴ OA OB 2， ∴ AC BD 4. ∴ □ABCD是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. * *