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* * §3 函数极限存在的条件 一、归结原则 的充要条件是: 对于在 以 x0 为极限的 都存在, 并且相等. 证 (必要性) 设 则对任给 定理 3.8 存在 那么对上述 存在 所以 这就证明了 (充分性)（下面的证法很有典型性，大家必须学 恒有 时, 不以 A 为极限, 则存在正数 设任给 会这种方法.） 对于任意正数 使得 现分别取 存在相应的 使得 另一方面, 所以 这与 矛盾. 注: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 1. 找一个数列{ xn }: 2. 找两个趋于 x0的不同数列{ xn }及{ yn } 使 例1 都不存在. 解 故 不存在. 故 不存在. 密集的等幅振荡, 当然不会趋于一个固定的值. -1 -0.5 0.5 1 1 -1 的图象在 x = 0 附近作无比 从几何上看， 归结原则作用在于把函数极限归结为数列极限问题来处理. 义, 则 定理 3.9 的某空心右邻域 有定 作为一个例题, 下面给出定理 3.9 的另一种形式. 义. 的充要条件是任给严格递减 的 例 2 的某空心右邻域 上有定 证 必要性应该是显然的. 下面我们证明充分性. f(x) 不以 A 为极限. 则存在正数 这样就得到一列严格递减的数列 这与条件矛盾. 二、单调有界定理 定理 3.10 设 f 为定义在 上的单调有界函数, 则右极限 （相信读者也能够写出关于 证 不妨设 f 在 因为 f (x) 有界, 故 的单调有界定理 .） 存在, 设为A .由确界定义, 对于 由 f (x) 的递减性, 这就证明了 对于单调函数, 归结原则的条件就要简单得多. 例3 存在的充要条件是存在一个数列 证 必要性可直接由归结原则得出, 下面证明充分 对于任意 当 时, 有 假设 递减． 性. 　 三、柯西收敛准则 设函数在 内有定义. 存在 定理3.11 有 . 是：任给 ,存在正数 ,使得对任何 的充要条件 证：必要性 充分性 由假设 由数列的柯西收敛准则， 现证B=A。 * * * *