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8.1 离散点集拐点的快速查找算法 平面波形曲线一般是由一系列较短时间间隔采集数据点获得的平面离散点集，再经过分段线性插值的方法画出的。 波形特怔（如波形曲线的极值点和拐点）的计算机自动识别在各种探伤和检测的计算机信息处理中占有重要的地位。如何快速确定构成波形的这些离散点集中的拐点在平面曲线波形的计算机自动识别中是经常要考虑的问题之一。 目前确定平面离散点集中的拐点方法还没有较好的算法，请尝试给出一个求离散点集中拐点的快速查找算法。 问题的分析与算法构造 拐点是曲线凹凸交界点，注意到不在同一直线上的三点可以确定此段曲线的凹凸性。 因此，要获得曲线拐点信息至少需要四个点。 观察由平面散点集画出的散点图，发现散点图中的某点如果是拐点，要由该点左边的2个点和右边的一个点共四个点来确定，逐次连接顺序两点连线更易看出是否拐点（图8-1） 定义1. 设平面上两点的坐标分别为 P1(x1 ,y1) 和 P2(x2 ,y2), P1?P2，称具有方向 P1P2 且过此两点的有向直线为正向直线，而称对应的直线方程 为关于点P1 ，P2的正向直线方程。 取与点 有同一横坐标且在 L上的参考点 ， 则有 将 代入函数 ,有 拐点的确定及算法 算例 考虑在[-3，3]上的函数 y=x*sin x2，它在[-3，3]上的有7个拐点，分别为： x1= -2.5514, x2=-1.88206, x3= -0.994103, x4=0. , x5=0.994103, x6=1.88206, x7=2.5514. 现在从该曲线上取400个等距点获得该曲线图形的离散点集。用本算法快速准确的求出了该离散点集的拐点，分别为： 第31点 {-2.55, -0.55478}；第76个点 {-1.875, 0.685072}； 第135个点 {-0.99, -0.822248}，第201个点 {2.42861?10-15 , 1.43243 ?10-44 }； 第268个点 {1.005, 0.851079}，第327个点 {1.89, -0.788757}； 第372个点 {2.565, 0.748299}。 计算结果是非常令人满意的。 它的散点图与求出的拐点在同一坐标系中的图形见图 问题的提出 “五一”假期快到了，张勇决定假期去踏青。他想去杭州、黄山和庐山三个踏青地点，但由于时间的原因，他只能在这3个地点中选一个来作为踏青目的地。请用数学建模的方式帮他选择这个踏青地。 问题的分析 本题是决策问题。要做的是从多个选择中选择最好的一个。 选择依据： 在多个对象中选择其中一个，人们往往要根据自己的目标和有利于目标实现的多种因素的考量来做出最后选择。 但： 目标和要考量的因素往往是不能用数量描述的定性概念。如问题中张勇的目标是选择一个踏青地点，而选择踏青地他要考虑踏青地的景色、费用、居住、饮食和旅途等因素，这些因素显然都是定性的概念。 要做的事情 如何把定性的内容变为定量的内容，还要考虑有什么样的结构描述这类决策问题。 层次分析法的递阶层次结构 目标层： 层次中只有一个因素，一般它是决策问题的预定目标或理想结果，处于层次结构的第一层。 准则层： 层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，处于层次结构的中间层。 方案层： 层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层，处于层次结构的最底层。 构造判断矩阵 问题 1.层次结构虽反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则因素在目标衡量中所占的比重在决策者的心目中各占有的比例不同。 2.在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，主要困难是这些比重常常不易定量化。 3.当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。 解决方法 两个因子通过比较容易知道它们所影响的因素的大小。 根据这个特点，Saaty等人提出先采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法来描述各因素两两比较后对所影响因素的数据，然后再用代数方法确定影响该因素的诸因子在该因素中所占的比重。 成对比较矩阵的构造方法 假设要比较n个因子