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第3章　多速率信号处理 软件无线电所基于的最基本的理论是带通采样定理。带通采样定理的应用大大降低了所需的射频采样速率，为后面的实时处理奠定了基础。但是从对软件无线电的要求来看，带通采样的带宽应该越宽越好，这样对不同信号会有更好的适应性，采样率越高越有利于系统的简化；另外，当对一个频率很高的射频信号采样时，如果采样率取得太低，对提高采样量化的信噪比是不利的。所以在可能的情况下，带通采样速率应该是尽可能的选得高一些，使瞬时采样带宽尽可能的宽。 但是随着采样速率的提高带来的另外一个问题就是采样后的数据流速很高，导致后续的信号处理速度跟不上，特别是对有些同步解调算法，其计算量大，如果其数据吞吐率太高是很难满足实时性要求的，所以很有必要对A/D后的数据流进行降速处理。那么是否有可能进行降速处理呢？回答是肯定的。因为前面已经讲过，一个实际的无线电通信信号带宽一般为几十千赫兹到几百千赫兹，实际对单信号采样时所需的采样率是不高的，所以对这种窄带信号的采样数据流进行降速处理或者叫二次采样是完全可能的。多速率信号处理技术为这种降速处理的实现提供了理论依据。本章将专门介绍多速率信号处理的一些基本概念和基本理论，其中最为重要也是最为基本的理论是抽取和内插。 3.1　整数倍抽取和内插 3.1.1　整数倍抽取 所谓整数倍抽取是指把原始采样序列x n 每隔（D-1）个数据取一个，以形成一个新序列xD m ，即。式中，D为正整数，抽取过程如图3-1所示，抽取器用符号表示则如图3-2所示。 很显然，如果x n 序列的采样速率为fs，则其无模糊带宽为fs/2。当以D倍抽取率对x n 进行抽取后得到的抽取序列xD m 之取样率为fs/D，其无模糊带宽为fs/ 2D ，当x n 含有大于fs/ 2D 的频率分量时，xD m 就必然产生频谱混叠，导致从xD m 中无法恢复x n 中小于fs/ 2D 的频率分量信号。下面从数学上来证明这一点。 首先定义一个新信号： （3-1） 根据恒等式： （3-2） 则x’ n 可表示为 （3-3） 定义抽取后的序列为xD m 。由于xD m x Dm x’ Dm , 则xD m 之Z变换为： （3-4） 又由于x’ m 除了m为D的整数倍时不为零外，其余均为零，所以式（3-4）可重新写为： （3-5） 把x’ m 表达式带入可得： （3-6） 把z ejω带入式（3-6）可得抽取序列xD n 之离散傅氏变换为: （3-7） 由式（3-7）可见，抽取序列的频谱（离散傅氏变换）XD ejω 为抽取前原始序列之频谱X ejω 经频移和D倍展宽后的D个频谱的叠加和。图3-3给出了抽取前后的频谱结构变化图。 由图3-3可见，抽取后的频谱XD ejω 产生了严重混叠，使得从XD ejω 中已无法恢复出X ejω 中所感兴趣的频谱分量。但是如果先用一数字滤波器（滤波器带宽为π/D）对X ejω 进行滤波，使X ejω 中只含有小于π/D的频率分量（对应模拟频率为πfs/D），再进行D倍抽取，则抽取后的频谱就不会产生混叠了，如图3-4所示。这样XD ejω 中的频谱成分与X’ ejω 中的频谱成分是一一对应的，或者说XD ejω 可以准确地表示X’ ejω ，即XD ejω 可以准确地表示X ejω 中小于π/D或πfs/D的频率分量信号。所以这时对XD ejω 进行处理等同于对X ejω 的处理，但前者的数据流速率只有后者的D分之一，大大降低了对后处理速度的要求。 通过上述分析可以得出一个完整的D倍抽取器结构如图3-5所示。图中HLP ejω 为其带宽小于π/D的低通滤波器。 3.1.2　整数倍内插 所谓整数倍内插就是指在两个原始抽样点之间插入（I-1） （3-8） 内插过程如图3-6所示。 由于xI m 除了m为I的整数倍处为x m/I 外，其余都为零，所以有： （3-9） 把z ejω带入式（3-9）可得内插后的信号频谱为： （3-10） 由式（3-10）可见，内插后的信号频谱为原始序列谱经I倍压缩后得到的谱。图3-7给出了抽取前后的频谱结构。 图3-7 b 为内插后未经滤波的频谱图，这时在XI ejω 中不仅含有X ejω 的基带分量（如图中阴影部分所示），而且还含有其频率大于π/I的高频成分（称其为X ejω 的高频镜像），为了从XI ejω 中恢复出原始谱，则必须对内插后的信号进行低通滤波 滤波器带宽为π/I ，滤波后的频谱结构如图3-7 c 所示，这时的内插序列将如图3-6 c 所示，即原来插入的零点值变为x n 的准确内插值，经过内插大大提高了时域分辨率[3]。 完整的I倍内插器的结构如图3-8所示，图中HLP ejω 为带宽小于π/I的低通滤波器。 取样率的分数倍变换，先内插后抽取。 取样率变换性质。 3.2　多相滤波结构 在