高等数学(上)期末复习指导(修改稿).doc

　　　 　　高等数学（上）期末复习指导 惠州学院数学系 卫 斌 教授 本学期我们学习了《高等数学》（上册）的第一至第六章，内容为一元函数微积分学． 根据本科生对该课程的教学要求，按章编写了期末复习指导，供同学们复习时参考． 关于期末考试的说明： （1）期末总成绩分为两部分，平时成绩（作业、期中考试）占30﹪，期末考试成绩占70﹪（均以100分制，教务系统录入后，自动统计）．两项合计60分为及格，并取得相应学分，60分以下为不及格，可随下一届同学在相应学期补考． （2）考试题型为： 一、填空题（共15分，每小题3分）；　　 二、单项选择题（共15分，每小题3分）；　 三、计算题（共40分）；　　　　　　　　　 四、应用题（共12分）；　　　　　　　　　 五、证明题（共12分）；　　　　　　　　　　 六、综合题（共6分）. 下面分章复习： 考试大纲 第一章 函数与极限（25分） 编号 考点 分值 考试形式 1 求定义域. 3 选择/填空 2 极限存在与左、右极限之间的关系 6 选择/填空/计算/综合 3 用极限的四则运算求极限 6 计算 4 用两个重要极限求极限 6 计算 5 讨论连续性、判别间断点的类型 6 选择/填空/计算 6 无穷小、无穷小的阶 6 选择/填空/计算/证明 7 等价无穷小替换求极限 6 计算 8 最值定理证明,会用介值定理讨论方程根的存在性 8 证明 （一）函数的概念 　　函数是高等数学（微积分）的研究对象．函数是两个数集之间的一种映射，或者说是一种对应规律,记作.构成函数有三因素：定义域，对应规律和值域；把前两者叫函数的两要素． 【例1】（选择题）：设，则（　　）. 　　　　；　　　；　　　；　　. 　解　 　则　，故选（A）． 【例2】（填空题）已知函数，则　　　　． 　令 ，即，那么　，即　　　． 【例3】（选择题）下列各对函数中（　　）中的两个函数相同． 　　　　；　　　； 　　　　；　　　　　． 　解　（A）中与的定义域都是，且对应规律也相同． 【例4】（选择题）设为奇函数，为偶函数，则复合函数（ 　）是奇函数． 　　；　　；　　；　　． 　解　设，则. 【例5】若是连续的奇函数，证明是偶函数. 证 因为是奇函数，故，记 ，由定积分的换元积分法知 所以是偶函数. 【例6】（填空题） 判断函数的奇偶性 . 【例7】（填空题）函数的定义域是　　　　　　　． 　解 　　． 【例8】（填空题）的定义域为，则的定义域是 . （二）数列的极限 　1.数列极限的定量定义：对恒成立， 则称数列的极限是常数，记作　 或　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　2.收敛数列的性质．（见讲义）定理1—4． 　3.数列收敛的判别定理： 准则Ⅰ 夹逼准则 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 （三）函数的极限 　　 1.（）定义； ()定义.（见讲义） 2.左、右极限：； 3.极限的局部保号性． 变量（数列、函数）的极限是的描述性定义（定性定义）： 变量在其变化过程中，总有那么一个时刻，变到这个时刻以后，会无限趋近 于某个常数，即与之距能任意小，并保持任意小，通俗讲：就是到了“要多小有多小”，就是“小到不能说”，甚至到了“一说就不小了”的程度，但是，这时我们就说，变量以常数为极限，记作 . 　 （四）无穷小与无穷大 　　 1.无穷小 　 （1）定义：以零为极限的变量称为无穷小量． 　 （2）无穷小的阶（比较） 　　 （3）无穷小的运算性质（见讲义）　特别是：有界函数与无穷小之积为无穷小． 　　求极限时时，可用无穷小替换， 　　记住几个等价无穷小：～～ ～～ ～～ 　2.无穷大：绝对值无限增大的变量叫无穷大. 无穷小与无穷大的关系：非零无穷小的倒数为无穷大，反之，无穷大的倒数为无穷小. 　（五）两个重要极限 　　第一个重要极限：是弦弧之比的极限，是的未定式，它的标准形式是 　 　 　　第二个重要极限：是的未定式，它的标准形式是 　 　 　　注意：这里，即它们互为倒数． 　（六）函数的连续性 　　1.三个等价定义：其中 ，则称函数在点处连续． 　　函数在区间连续的定义．初等函数在其定义域内是连续的． 　　2.闭区间上连续函数的性质 　　①有界性　②最值定理　③零点定理 　　3.函数的间断点及其分类　　 　　注意:求函数的极限时 　　　一看自变量的变化过程，二看函数的变化趋势.如各项的极限都存在（定式）时 　用四则运算法则即可求出它们的极限；如果遇到有理分式出现未定式时，可先消去不 　定因子后化为定式，