线性代数概念17818.docVIP

第一讲 基本概念 1．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为： 其中未知数的个数和方程式的个数不必相等。 线性方程组的解是一个维向量（称为解向量），它满足：当每个方程中的未知数都用替代时都成为等式。 线性方程组的解的情况有三种：无解，唯一解，无穷多解。 对线性方程组讨论的主要问题有两个：（1）判断解的情况。（2）求解，特别是在有无穷多解时求通解。 的线性方程组称为齐次线性方程组。 维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。因此齐次线性方程组解的情况只有两种：唯一解（即只要零解）和无穷多解（即有非零解）。 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。 2．矩阵和向量 （1）基本概念 矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展。 由个数排列成的一个行列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个型矩阵。例如 是一个矩阵，对于上面的线性方程组，称矩阵 和 为其系数矩阵和增广矩阵。增广矩阵体现了方程组的全部信息，而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息。 一个矩阵中的数称为它的元素，位于第行第列的数称为位元素。 元素全为的矩阵称为零矩阵，通常就记作。 两个矩阵和相等（记作）,是指它的行数相等，列数也相等（即它们的类型相同），并且对应的元素都相等。 由个数构成的有序数组称为一个维向量，称这些数为它的分量。 书写中可用矩阵的形式来表示向量，例如分量依次是的向量可表示成 或， 请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样（左边是矩阵，右边是矩阵）。习惯上把它们分别称为行向量和列向量。（请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别。） 一个的矩阵的每一行是一个维向量，称为它的行向量；每一列是一个维向量，称为它的列向量。常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵的列向量组为时（它们都是表示为列的形式！）可记。 矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为的向量称为零向量，通常也记作。两个向量和相等（记作），是指它的维数相等，并且对应的分量都相等。 （2）线性运算和转置 线性运算是矩阵和向量所共有的，下面以矩阵为例来说明。 加（减）法：两个的矩阵和可以相加（减），得到的和（差）仍是矩阵，记作，法则为对应元素相加（减）。 数乘：一个的矩阵与一个数可以相乘，乘积仍为的矩阵，记作，法则为的每个元素乘。 这两种运算统称为线性运算，它们满足以下规律： ① 加法交换律：。 ② 加法结合律：。 ③ 加乘分配律：。。 ④ 数乘结合律：。 ⑤ 或。 转置：把一个的矩阵行和列互换，得到的的矩阵称为的转置，记作（或）。 有以下规律： ① 。 ② 。 ③ 。 转置是矩阵所特有的运算，如把转置的符号用在向量上，就意味着把这个向量看作矩阵了。当是列向量时，表示行向量，当是行向量时，表示列向量。 向量组的线性组合：设是一组维向量，是一组数，则称 为的（以为系数的）线性组合。 维向量组的线性组合也是维向量。 （3）阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为的矩阵也常常叫做阶矩阵。 把阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线。（其上的元素行号与列号相等。） 下面列出几类常用的阶矩阵，它们都是考试大纲中要求掌握的。 对角矩阵：对角线外的元素都为的阶矩阵。 单位矩阵：对角线上的元素都为的对角矩阵，记作（或）。 数量矩阵：对角线上的元素都等于一个常数的对角矩阵，它就是。 上三角矩阵：对角线下的元素都为的阶矩阵。 下三角矩阵：对角线上的元素都为的阶矩阵。 对称矩阵：满足矩阵。也就是对任何位的元素和位的元素总是相等的阶矩阵。 （反对称矩阵：满足矩阵。也就是对任何位的元素和位的元素之和总等于的阶矩阵。反对称矩阵对角线上的元素一定都是。） 3．矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 矩阵有以下三种初等行变换： ① 交换两行的位置。 ② 用一个非0的常数乘某一行的各元素。 ③ 把某一行的倍数加到另一行上。(称这类变换为倍加变换) 类似地，矩阵还有三种初等列变换，大家可以模仿着写出它们，这里省略了。初等行变换与初等列变换统称初等变换。 阶梯形矩阵：一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足： ① 如果它有零行，