数学利用导数证明等式的常见题型及解题技巧.doc

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 趣题引入 已知函数 设， 证明： 分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。 证明：，设 当时 ，当时 ， 即在上为减函数，在上为增函数 ∴，又 ∴， 即 设 当时，，因此在区间上为减函数； 因为，又 ∴， 即 故 综上可知，当 时， 本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。 技巧精髓 一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式而如何构造函数是用导数证明不等式的关键【】，求证：当时， 恒有 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 ，从其导数入手即可证明。 【】时，，即在上为增函数 当时，，即在上为减函数 故函数的单调递增区间为，单调递减区间 于是函数在上的最大值为，因此，当时，，即∴ （右面得证），现证左面，令， 当 ， 即在上为减函数，在上为增函数， 故函数在上的最小值为， ∴当时，，即 ∴，综上可知，当 【】是函数在区间上的最大（小）值，则有（或），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过就可得证． 2、直接作差构造函数证明 【】 求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方； 分析：函数的图象在函数的图象的下方问题， 即，只需证明在区间上，恒有成立，设，，考虑到 要证不等式转化变为：当时，，这只要证明： 在区间是增函数即可。 【】，即， 则=当时，=从而在上为增函数，∴ ∴当时 ，即，故在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。 【】做一做，深刻体会其中的思想方法。 3、换元后作差构造函数证明 【】 都成立. 分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数【】，则在上恒正，所以函数在上单调递增，∴时，恒有 即，∴ 对任意正整数n，取 【】在上单调递增，则时，有．如果＝，要证明当时，，那么，只要令＝－，就可以利用的单调增性来推导．也就是说，在可导的前提下，只要证明０即可． 4、从条件特征入手构造函数证明 【】在R上可导且满足不等式x－恒成立，且常数a，b满足ab，求证：．ab 【】+0 ∴构造函数 ， 则 x+0， 从而在R上为增函数。 ∴ 即 ab 【】，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数，求导即可完成证明。若题目中的条件改为，则移项后，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。 【】 求证：当时，恒有， 2、已知定义在正实数集上的函数其中a0，且， 求证： 3、已知函数，求证：对任意的正数、， 恒有 4、（2007年，陕西卷）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足≤0，对任意正数a、b，若a b，则必有 （ ） （A）af (b)≤bf (a) （B）bf (a)≤af (b) （C）af (a)≤f (b) （D）bf (b)≤f (a) 【】，当，时，不难证明 ∴，即在内单调递增，故当时， ，∴当时，恒有 2、提示：设则 = ，∴ 当时，， 故在上为减函数，在上为增函数，于是函数 在上的最小值是，故当时，有，即 3、提示：函数的定义域为， ∴当时，，即在上为减函数 当时，，即在上为增函数 因此在取得极小值，而且是最小值 于是，即 令 于是 因此 4、提示：，，故在（0，+∞）上是减函数，由 有 af (b)≤bf (a) 故选（A） 1 用心 爱心 专心 115号编辑