第三十六讲直接证明与间接证明.docVIP

第三十六讲　直接证明与间接证明 班级________　姓名________　考号________　日期________　得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了(　　) A．分析法 B．综合法 C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法 解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件结论． 故选B. 答案：B 2．已知x10，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xnxn＋1，”当此题用反证法否定结论时应为(　　) A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1 B．存在正整数n，使xn≤xn＋1 C．存在正整数n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1 D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0 解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xnxn＋1”的否定为“存在正整数n，使xn≤xn＋1”，故选B. 答案：B 3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0 C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0(a2－1)(b2－1)≥0，故选D. 答案：D 4．已知a、b是非零实数，且ab，则下列不等式中成立的是(　　) A.1　　　　　　　B．a2b2 C．|a＋b||a－b| D. 解析：10?a(a－b)0. ∵ab，∴a－b0.而a可能大于0，也可能小于0， 因此a(a－b)0不一定成立，即A不一定成立； a2b2(a－b)(a＋b)0， ∵a－b0，只有当a＋b0时，a2b2才成立，故B不一定成立； |a＋b||a－b|(a＋b)2(a－b)2ab0，而ab0也有可能，故C不一定成立； 由于0?(a－b)·a2b20. ∵a，b非零，ab，∴上式一定成立，因此只有D正确．故选D. 答案：D 5．(2009·杭州市模拟)已知函数f(x)＝x，a，b∈(0，＋∞)，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 解析：因为当a，b∈(0，＋∞)时，≥≥，且函数f(x)＝x，在R上为减函数，所以A≤B≤C，故选A. 答案：A 6．设0x1，则a＝，b＝1＋x，c＝中最大的一个是(　　) A．a B．b C．c D．不能确定 解析：易得1＋x2. ∵(1＋x)(1－x)＝1－x21，又0x1，即1－x0. ∴1＋x. 答案：C 二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．否定“任何三角形的外角都至少有两个钝角”其正确的反设应是________． 解析：本题为全称命题，其否定为特称命题． 答案：存在一个三角形，它的外角至多有一个钝角 8．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________． 解析：y2＝()2＝a＋b＝＝x2. 答案：xy 9．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________． 解析：因为a＋b＝(a＋b)＝＋＋10≥16(当且仅当＝，即b＝3a时取等号)，a＋b≥μ恒成立μ≤(a＋b)min， 所以μ≤16.又μ∈(0，＋∞)， 故0μ≤16. 答案：(0,16] 10．(原创题)如果a＋ba＋b，则a、b应满足的条件是________． 解析：∵a＋ba＋b(－)2·(＋)0a≥0，b≥0且a≠b. 答案：a≥0，b≥0且a≠b 三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．已知a，b，c是不等正数，且abc＝1. 求证：＋＋＋＋. 证明：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1， ∴＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋. 12．已知：a0，b0，a＋b＝1. 求证： ＋≤2. 证明：要证 ＋≤2. 只要证：a＋＋b＋＋2≤4， ∵由已知知a＋b＝1， 故只要证： ≤1， 只要证：(a＋)(b＋)≤1， 只要证：ab≤， ∵a0，b0,1＝a＋b≥2，∴ab≤， 故原不等式成立． 13．(2010·浦东模拟)△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边．求证：＋＝. 解：要证明＋＝，只需证明＋＝3，只需证明＋＝1，只需证明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)·(b＋c)，只需证明c2＋a