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第二章(三)几种重要的分布及其数字特征ppt
0-1分布与二项分布 定义 若随机变量X只取两个可能值0,1,且 X 0 1 P q p 定义 若随机变量X可能取值0,1,2,…,n,X的分布律为 第3节 几种常见的重要分布及其数字特征 解 X服从二项分布B(n,p),即 例6 某射手对目标独立射击5次,每次命中目标的概率为p,以X表示命中目标的次数,求X的分布律。 例7 某厂长有7个顾问,假定每个顾问贡献正确意见的概率为0.6,且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见,并按多数顾问的意见作出决策,试求作出正确决策的概率。 解 设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人数”,则X可能取值为0,1,2,…,7。 X~B(7,0.6)。因此X的分布律为 所求概率为 泊松分布 定义 若随机变量X可能取值0,1,2,…,n…,X的分布律为 什么样的随机现象服从泊松分布? 如商店里等待服务的顾客数,电话交换台的呼唤数,火车站的乘客数,铸件的气孔数,棉布的疵点数,田地里一定面积上的杂草数,房间里单位面积上的尘埃数,等等,都属于泊松分布的随机变量。 例8 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为?的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。 解 由题意 说明该国有3个以及以上孩子的家庭不足三分之一。 注意 泊松定理 历史上泊分布是作为二项分布的近似,于1837年由法国数学家泊松引入的,近数十年来,泊松分布日益显示其重要性,成了概率论中最重要的几个分布之一。 在实际应用中许多随机现象服从泊松分布。这种情况特别集中在两个领域中。一是社会生活,对服务的各种要求:诸如电话交换台中来到的呼叫数,公共汽车站来到的乘客数等等都近似地服从泊松分布,因此在运筹学及管理科学中泊松分布占有很突出的地位;另一领域是物理学,放射性分裂落到某区域的质点数,热电子的发射,显微镜下落在某区域中的血球或微生物的数目等等都服从泊松分布。 P94页例4 几种连续型随机变量 均匀分布 则称X服从区间[a,b]上的均匀分布,简记为X~U(a,b)。 服从均匀分布的随机变量X的分布函数为 若X~U(a,b), 设随机变量X的概率密度为 指数分布 设连续型随机变量X具有概率密度 则称X服从参数为?的指数分布,记作 ,其分布函数为 例5 某电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布,(1)求该电子元件寿命超过2年的概率;(2)已知该电子元件已使用了1.5年,求它还能使用2年的概率为多少? 解 其中?, ? (? 0)为常数,则称X服从参数为? ,?2的正态分布,记为X~N(?, ?2)。 定义 若随机变量X的概率密度函数为 f (x)的图像为 正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛,在理论上研究最多的分布之一,故它在概率统计中占有特别重要的地位。 正态分布密度函数的图形性质 x f (x) 0 x f (x) 0 正态分布也称为高斯(Gauss)分布 正态分布随机变量X的分布函数为 其图像为 0 μ x F(x) 1 当参数?=0,?2=1时,称随机变量X 服从标准正态分布,记作X~N(0, 1)。其密度函数表示为 分布函数表示为 标准正态分布的密度函数图像关于y轴对称。 可得 0 x 1 Φ(x) 标准正态分布 -x x 对于标准正态分布的分布函数Φ(x)的函数值,书后附有标准正态分布表。表中给出了x0的函数值。当x0时,可利用Φ(-x)=1- Φ(x)计算得到。 例 已知X~N(0, 1),求P(-∞<X≤-3), P(|X|<3). 解 P(-∞<X≤-3)= Φ(-3) = 1-Φ(3) 查标准正态分布表 P(|X|<3)= P(-3<X < 3)= Φ(3) - Φ(-3) = Φ(3) -[1-Φ(3)] =2Φ(3)-1 =2×0.9987-1=0.9974 =1-0.9987=0.0013 一般地, X~N(0, 1), P(X≤x)=Φ(x), P(|X|<x)=2Φ(x)-1 练习 已知X~N(0, 1),求P(-∞<X≤-2), P(|X|<2.5). 一般正态分布的计算 例 已知X~N(1, 4),求P(X≤2), P(0<X≤1.5)。 解 查标准正态分布表 例 已知X~N(2, 4
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