第五节 隐函数的求导方法.ppt

二阶导数 : 导数的另一求法 * 第八章 第五节 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数的求导方法 本节讨论 : 1 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C 0 时, 能确定隐函数; 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 y f x , 并有连续 隐函数求导公式 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 满足条件 导数 两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 若F x , y 的二阶偏导数也都连续, 则还有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 验证方程 在点 0,0 某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解: 令 连续 , 由 定理1 可知, ① 导的隐函数 则 ② ③ 在 x 0 的某邻域内方程存在单值可 且 并求 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x 0 , 注意此时 — 利用隐函数求导 定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z f x , y , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 两边对 x 求偏导 同样可得 则 例2. 设 解法1 利用隐函数求导 再对 x 求导 解法2 利用公式 设 则 两边对 x 求偏导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设F x , y 具有连续偏导数, 解法1 利用偏导数公式. 确定的隐函数, 则 已知方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 对方程两边求微分: 解法2 微分法. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 隐函数存在定理 2. 隐函数 求导方法 方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式 * * * * *